1. **Énoncé du problème** : Une urne contient 15 boules : 5 rouges, 7 bleues, et 3 blanches (car $15 - 5 - 7 = 3$). On tire successivement trois boules avec remise sauf avant le troisième tirage où 5 boules bleues sont retirées. On définit la variable aléatoire $Z$ comme le gain total du jeu. 2. **Décomposition de $Z$ en variables aléatoires** : Définissons $X_1$, $X_2$, $X_3$ les gains respectifs des trois tirages. - $X_1$ : gain du premier tirage - $P( ext{bleue})=\frac{7}{15}$, gain = 2 - $P( ext{rouge})=\frac{5}{15}$, gain = 3 - $P( ext{blanche})=\frac{3}{15}$, gain = 0 - $X_2$ : gain du deuxième tirage - $P( ext{blanche})=\frac{3}{15}$, perte = -2 - $P( ext{rouge})=\frac{5}{15}$, perte = -5 - $P( ext{bleue})=\frac{7}{15}$, gain = 0 - $X_3$ : gain du troisième tirage après retrait de 5 boules bleues - Nombre de boules restantes = $15 - 5 = 10$ - $P( ext{bleue})=\frac{7 - 5}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$, gain = 10 - $P( ext{rouge ou blanche})=\frac{5 + 3}{10} = 0.8$, gain = 0 Donc, $$Z = X_1 + X_2 + X_3$$ 3. **Calcul de $E(Z)$** : Calculons $E(X_1)$ : $$E(X_1) = 2 \times \frac{7}{15} + 3 \times \frac{5}{15} + 0 \times \frac{3}{15} = \frac{14}{15} + \frac{15}{15} + 0 = \frac{29}{15} \approx 1.9333$$ Calculons $E(X_2)$ : $$E(X_2) = (-2) \times \frac{3}{15} + (-5) \times \frac{5}{15} + 0 \times \frac{7}{15} = -\frac{6}{15} - \frac{25}{15} + 0 = -\frac{31}{15} \approx -2.0667$$ Calculons $E(X_3)$ : $$E(X_3) = 10 \times 0.2 + 0 \times 0.8 = 2 + 0 = 2$$ Donc, $$E(Z) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = \frac{29}{15} - \frac{31}{15} + 2 = \frac{29 - 31}{15} + 2 = -\frac{2}{15} + 2 = \frac{28}{15} \approx 1.8667$$ **Interprétation** : Le gain moyen attendu par partie est environ 1.87 euros, ce qui signifie que ce jeu est en moyenne rentable. 4. **Échantillon et somme des gains** : - a) $S_n = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n$ représente la somme des gains sur $n$ parties indépendantes identiques. - b) Par linéarité de l'espérance, $$E(S_n) = n \times E(Z) = n \times \frac{28}{15}$$ - c) Pour espérer gagner plus de 100 euros en moyenne, $$E(S_n) > 100 \Rightarrow n \times \frac{28}{15} > 100 \Rightarrow n > \frac{100 \times 15}{28} = \frac{1500}{28} \approx 53.57$$ Donc, il faut jouer au moins 54 fois pour espérer un gain supérieur à 100 euros en moyenne.