1. **Énoncé du problème** : Un jeu de 32 cartes contient différentes cartes avec des valeurs en points. On choisit une carte au hasard et on note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de points de la carte tirée. 2. **Données du problème** : - 12 figures valent 5 points chacune. - 4 neuf, 4 huit, 4 sept valent 0 point chacune. - 4 dix et 4 as valent 10 points chacune. 3. **Calcul des probabilités** : Le total des cartes est 32. - Probabilité de tirer une figure (5 points) : $P(X=5) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$. - Probabilité de tirer une carte à 0 point : $P(X=0) = \frac{4+4+4}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$. - Probabilité de tirer une carte à 10 points : $P(X=10) = \frac{4+4}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$. 4. **Définition de la somme gagnée par Gaspard** : - Si $X \geq 15$, Carla verse 3 euros à Gaspard. - Sinon, Carla verse une somme $s$ à Gaspard. 5. **Valeurs possibles de $X$** : Les valeurs de $X$ sont 0, 5, et 10. Aucune carte ne vaut 15 ou plus, donc la condition $X \geq 15$ ne peut jamais être satisfaite. 6. **Interprétation et correction probable** : La somme obtenue par Gaspard est la somme de plusieurs cartes, mais ici on tire une seule carte. Supposons que la condition soit $X \geq 10$ (car 10 est la plus grande valeur possible). 7. **Calcul de la probabilité $X \geq 10$** : $P(X \geq 10) = P(X=10) = \frac{1}{4}$. 8. **Espérance mathématique du gain de Gaspard** : Le jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle : $$E = P(X \geq 10) \times 3 + P(X < 10) \times (-s) = 0$$ 9. **Calcul de $P(X < 10)$** : $P(X < 10) = 1 - P(X \geq 10) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. 10. **Équation à résoudre** : $$\frac{1}{4} \times 3 - \frac{3}{4} \times s = 0$$ 11. **Résolution** : $$\frac{3}{4} - \frac{3}{4}s = 0$$ $$\Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{3}{4}s$$ $$\Rightarrow \cancel{\frac{3}{4}} = \cancel{\frac{3}{4}} s$$ $$\Rightarrow s = 1$$ 12. **Conclusion** : La somme $s$ que Carla doit verser à Gaspard pour que le jeu soit équitable est 1 euro.