1. **Énoncé du problème :** Un livreur met habituellement 15 minutes pour livrer un client. Il rencontre deux feux tricolores indépendants sur son trajet. À chaque feu, il peut être vert, orange (arrêt 30 secondes), ou rouge (arrêt 60 secondes). On note $Y$ la variable aléatoire représentant le temps total de livraison en minutes. 2. **Valeurs possibles de $Y$ :** - Temps de base : 15 minutes. - Chaque feu peut ajouter 0,5 minute (30 s) ou 1 minute (60 s) selon la couleur. - Avec deux feux, les temps possibles sont : $$15, 15 + 0.5 = 15.5, 16, 16.5, 17$$ 3. **Probabilités des feux :** - Probabilité feu vert : $p_V$ - Probabilité feu orange : $p_O$ - Probabilité feu rouge : $p_R$ 4. **Calcul de $P(Y=16)$ :** Pour $Y=16$, la somme des arrêts est 1 minute. Cela peut arriver si : - Un feu orange (0.5 min) + un feu rouge (1 min) impossible car total serait 1.5 min. - Deux feux orange (0.5 + 0.5 = 1 min) - Un feu rouge (1 min) + un feu vert (0 min) Donc, $$P(Y=16) = 2 \times p_V \times p_R + p_O^2$$ (car deux cas avec un feu rouge et un feu vert, et un cas avec deux feux orange) 5. **Loi de probabilité de $Y$ :** On calcule $P(Y=t)$ pour chaque $t$ parmi les valeurs possibles en combinant les probabilités des feux. 6. **Espérance mathématique $E(Y)$ :** $$E(Y) = \sum_t t \times P(Y=t)$$ C'est le temps moyen de livraison attendu. 7. **Calculs horaires :** Le livreur part à 07h44 (soit 464 minutes après minuit). - Arrivée à 08h00 = 480 minutes. - Il faut que $Y = 16$ minutes pour arriver pile à 08h00. 8. **Probabilité d'arrivée à 08h00 :** $$P(Y=16)$$ 9. **Probabilité d'arrivée en retard :** $$P(Y > 16) = P(Y=16.5) + P(Y=17)$$ 10. **Livraison sur plusieurs jours :** - Probabilité d'arriver à 08h00 trois premiers jours : $$P(Y=16)^3$$ - Probabilité d'arriver à 08h00 exactement trois fois dans la semaine (7 jours) : $$C_7^3 \times P(Y=16)^3 \times (1 - P(Y=16))^{4}$$ - Probabilité d'arriver au moins une fois à 08h00 dans la semaine : $$1 - (1 - P(Y=16))^{7}$$