1. **Énoncé du problème** : Karim tire 3 fois au but. Chaque tir peut être un but (M) avec probabilité 0.7 ou un raté (R) avec probabilité 0.3. 2. **Définition des variables aléatoires** : - $X$ = nombre de buts marqués en 3 tirs. - $Y$ = variable aléatoire à définir selon la question (non précisée ici, on se concentre sur $X$). 3. **Calcul des probabilités pour $X$** : - $X$ peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. - La probabilité d'avoir $k$ buts en 3 tirs suit une loi binomiale $B(n=3, p=0.7)$. 4. **Formule de la loi binomiale** : $$P(X=k) = \binom{3}{k} (0.7)^k (0.3)^{3-k}$$ 5. **Calcul des probabilités** : - $P(X=0) = \binom{3}{0} (0.7)^0 (0.3)^3 = 1 \times 1 \times 0.027 = 0.027$ - $P(X=1) = \binom{3}{1} (0.7)^1 (0.3)^2 = 3 \times 0.7 \times 0.09 = 0.189$ - $P(X=2) = \binom{3}{2} (0.7)^2 (0.3)^1 = 3 \times 0.49 \times 0.3 = 0.441$ - $P(X=3) = \binom{3}{3} (0.7)^3 (0.3)^0 = 1 \times 0.343 \times 1 = 0.343$ 6. **Calcul de l'espérance mathématique $E(X)$** : - La formule est $$E(X) = \sum_{k=0}^3 k \times P(X=k)$$ - Calcul détaillé : $$E(X) = 0 \times 0.027 + 1 \times 0.189 + 2 \times 0.441 + 3 \times 0.343$$ $$E(X) = 0 + 0.189 + 0.882 + 1.029 = 2.1$$ 7. **Interprétation** : - En moyenne, Karim marque 2.1 buts sur 3 tirs. **Réponse finale** : $$E(X) = 2.1$$