1. **Énoncé du problème :** Une urne contient 7 boules : 1 rouge (R), 2 jaunes (J), 4 vertes (V). Un joueur tire une boule au hasard. - Si rouge, gain = 10 points. - Si jaune, perte = 5 points. - Si verte, il tire une deuxième boule sans remise : - Si rouge, gain = 8 points. - Sinon, perte = 4 points. Soit $X$ la variable aléatoire du gain. 2. **Déterminer la loi de probabilité de $X$ :** - Probabilités du premier tirage : $$P(R) = \frac{1}{7},\quad P(J) = \frac{2}{7},\quad P(V) = \frac{4}{7}$$ - Si première boule verte, deuxième tirage sans remise parmi 6 boules restantes : - Boules restantes : 1R, 2J, 3V - $$P(R|V) = \frac{1}{6},\quad P(\text{non-R}|V) = \frac{5}{6}$$ - Gains possibles et leurs probabilités : 1. $X=10$ si première boule rouge : $$P(X=10) = P(R) = \frac{1}{7}$$ 2. $X=-5$ si première boule jaune : $$P(X=-5) = P(J) = \frac{2}{7}$$ 3. $X=8$ si première boule verte et deuxième boule rouge : $$P(X=8) = P(V) \times P(R|V) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}$$ 4. $X=-4$ si première boule verte et deuxième boule non rouge : $$P(X=-4) = P(V) \times P(\text{non-R}|V) = \frac{4}{7} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}$$ 3. **Calcul de l'espérance $E(X)$ :** $$E(X) = 10 \times \frac{1}{7} + (-5) \times \frac{2}{7} + 8 \times \frac{2}{21} + (-4) \times \frac{10}{21}$$ Calculons chaque terme : - $10 \times \frac{1}{7} = \frac{10}{7}$ - $-5 \times \frac{2}{7} = -\frac{10}{7}$ - $8 \times \frac{2}{21} = \frac{16}{21}$ - $-4 \times \frac{10}{21} = -\frac{40}{21}$ Addition : $$E(X) = \frac{10}{7} - \frac{10}{7} + \frac{16}{21} - \frac{40}{21} = 0 - \frac{24}{21} = -\frac{8}{7} \approx -1.14$$ 4. **Calcul de la variance $Var(X)$ :** $$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$ Calculons $E(X^2)$ : $$E(X^2) = 10^2 \times \frac{1}{7} + (-5)^2 \times \frac{2}{7} + 8^2 \times \frac{2}{21} + (-4)^2 \times \frac{10}{21}$$ $$= 100 \times \frac{1}{7} + 25 \times \frac{2}{7} + 64 \times \frac{2}{21} + 16 \times \frac{10}{21}$$ $$= \frac{100}{7} + \frac{50}{7} + \frac{128}{21} + \frac{160}{21}$$ Mettons tout au dénominateur 21 : $$= \frac{300}{21} + \frac{150}{21} + \frac{128}{21} + \frac{160}{21} = \frac{738}{21} = \frac{246}{7}$$ Donc : $$Var(X) = \frac{246}{7} - \left(-\frac{8}{7}\right)^2 = \frac{246}{7} - \frac{64}{49} = \frac{1722}{49} - \frac{64}{49} = \frac{1658}{49} \approx 33.84$$ 5. **Trouver le gain $g$ au deuxième tirage rouge pour que $E(X)=0$ :** On remplace 8 par $g$ dans le calcul de l'espérance : $$E(X) = 10 \times \frac{1}{7} + (-5) \times \frac{2}{7} + g \times \frac{2}{21} + (-4) \times \frac{10}{21} = 0$$ Simplifions : $$\frac{10}{7} - \frac{10}{7} + \frac{2g}{21} - \frac{40}{21} = 0$$ $$0 + \frac{2g}{21} - \frac{40}{21} = 0$$ $$\frac{2g}{21} = \frac{40}{21}$$ $$2g = 40$$ $$g = 20$$ **Réponse finale :** - Loi de probabilité : $$P(X=10) = \frac{1}{7},\quad P(X=-5) = \frac{2}{7},\quad P(X=8) = \frac{2}{21},\quad P(X=-4) = \frac{10}{21}$$ - Espérance : $E(X) = -\frac{8}{7} \approx -1.14$ - Variance : $Var(X) = \frac{1658}{49} \approx 33.84$ - Gain $g$ pour $E(X)=0$ : $g=20$