1. **Énoncé du problème :** On a un jeu de 32 cartes avec différentes valeurs de points. La variable aléatoire $X$ représente le nombre de points obtenus en tirant une carte au hasard. 2. **Compléter la loi de probabilité de $X$ :** - Cartes valant 0 points : 4 neuf + 4 huit + 4 sept = 12 cartes - Cartes valant 5 points : 12 figures - Cartes valant 10 points : 4 dix + 4 as = 8 cartes Calcul des probabilités : $$P(X=0) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$$ $$P(X=5) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$$ $$P(X=10) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$ 3. **Calcul de l'espérance $E(X)$ :** Formule : $$E(X) = \sum_k k \times P(X=k)$$ Calcul : $$E(X) = 0 \times \frac{3}{8} + 5 \times \frac{3}{8} + 10 \times \frac{1}{4} = 0 + \frac{15}{8} + \frac{10}{4} = \frac{15}{8} + \frac{20}{8} = \frac{35}{8} = 4.375$$ 4. **Calcul de la variance $Var(X)$ et de l'écart-type $\sigma(X)$ :** Formule variance : $$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$ avec $$E(X^2) = \sum_k k^2 \times P(X=k)$$ Calcul de $E(X^2)$ : $$E(X^2) = 0^2 \times \frac{3}{8} + 5^2 \times \frac{3}{8} + 10^2 \times \frac{1}{4} = 0 + 25 \times \frac{3}{8} + 100 \times \frac{1}{4} = \frac{75}{8} + 25 = \frac{75}{8} + \frac{200}{8} = \frac{275}{8} = 34.375$$ Calcul de la variance : $$Var(X) = 34.375 - (4.375)^2 = 34.375 - 19.140625 = 15.234375$$ Écart-type : $$\sigma(X) = \sqrt{15.234375} \approx 3.903$$ --- 5. **Expérience avec deux tirages avec remise, variable $Y$ = somme des points des deux cartes :** (a) Arbre de probabilités : - Chaque branche du premier tirage a les probabilités $P(X=0)=\frac{3}{8}$, $P(X=5)=\frac{3}{8}$, $P(X=10)=\frac{1}{4}$. - Chaque branche du second tirage est identique (tirage avec remise). (b) Valeurs possibles de $Y$ : $$Y = X_1 + X_2$$ Valeurs possibles : $$0+0=0, 0+5=5, 0+10=10, 5+0=5, 5+5=10, 5+10=15, 10+0=10, 10+5=15, 10+10=20$$ Donc $Y$ peut prendre les valeurs $0,5,10,15,20$. (c) Loi de probabilité de $Y$ : Calcul des probabilités par produit des probabilités indépendantes : $$P(Y=0) = P(X=0) \times P(X=0) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}$$ $$P(Y=5) = P(X=0)P(X=5) + P(X=5)P(X=0) = 2 \times \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = 2 \times \frac{9}{64} = \frac{18}{64} = \frac{9}{32}$$ $$P(Y=10) = P(X=0)P(X=10) + P(X=5)P(X=5) + P(X=10)P(X=0) = \frac{3}{8} \times \frac{1}{4} + \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{32} + \frac{9}{64} + \frac{3}{32} = \frac{6}{32} + \frac{9}{64} = \frac{12}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$$ $$P(Y=15) = P(X=5)P(X=10) + P(X=10)P(X=5) = 2 \times \frac{3}{8} \times \frac{1}{4} = 2 \times \frac{3}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$$ $$P(Y=20) = P(X=10)P(X=10) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$$ Vérification somme des probabilités : $$\frac{9}{64} + \frac{9}{32} + \frac{21}{64} + \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{9}{64} + \frac{18}{64} + \frac{21}{64} + \frac{12}{64} + \frac{4}{64} = \frac{64}{64} = 1$$ --- **Réponses finales :** - Loi de probabilité de $X$ : | $k$ | 0 | 5 | 10 | |---|---|---|---| | $P(X=k)$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | - Espérance : $E(X) = 4.375$ - Écart-type : $\sigma(X) \approx 3.903$ - Valeurs de $Y$ : $\{0,5,10,15,20\}$ - Loi de probabilité de $Y$ : | $y$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | |---|---|---|---|---|---| | $P(Y=y)$ | $\frac{9}{64}$ | $\frac{9}{32}$ | $\frac{21}{64}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |