1. **Énoncé du problème** : Nous avons deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ représentant les gains de deux parties d'un jeu. - $X$ correspond au gain du lancer d'une pièce : $P(X=1)=\frac{1}{2}$ (pile), $P(X=2)=\frac{1}{2}$ (face). - $Y$ correspond au gain du lancer d'un dé à 6 faces : - $P(Y=1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (chiffres pairs 2,4,6, gain 1 €), - $P(Y=2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (3 ou 5, gain 2 €), - $P(Y=-5)=\frac{1}{6}$ (1, perte de 5 €). 2. **Formule utilisée** : La variable aléatoire somme $S = X + Y$ a pour loi de probabilité : $$P(S=k) = \sum_{i+j=k} P(X=i) \times P(Y=j)$$ car $X$ et $Y$ sont indépendantes. 3. **Calcul des probabilités de $X$ :** $$P(X=1) = \frac{1}{2}, \quad P(X=2) = \frac{1}{2}$$ 4. **Calcul des probabilités de $Y$ :** $$P(Y=1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(Y=2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad P(Y=-5) = \frac{1}{6}$$ 5. **Calcul des valeurs possibles de $S$ et leurs probabilités :** Les valeurs possibles de $S$ sont les sommes des valeurs de $X$ et $Y$ : - $S = 1 + 1 = 2$ - $S = 1 + 2 = 3$ - $S = 1 + (-5) = -4$ - $S = 2 + 1 = 3$ - $S = 2 + 2 = 4$ - $S = 2 + (-5) = -3$ 6. **Calcul des probabilités de $S$ :** - $$P(S=2) = P(X=1) \times P(Y=1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ - $$P(S=3) = P(X=1) \times P(Y=2) + P(X=2) \times P(Y=1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$ - $$P(S=-4) = P(X=1) \times P(Y=-5) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$$ - $$P(S=4) = P(X=2) \times P(Y=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$ - $$P(S=-3) = P(X=2) \times P(Y=-5) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$$ 7. **Vérification que la somme des probabilités vaut 1 :** $$\frac{1}{4} + \frac{5}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{12}{12} = 1$$ **Réponse finale :** La loi de probabilité de $S = X + Y$ est : $$\begin{cases} P(S=-4) = \frac{1}{12} \\ P(S=-3) = \frac{1}{12} \\ P(S=2) = \frac{1}{4} \\ P(S=3) = \frac{5}{12} \\ P(S=4) = \frac{1}{6} \end{cases}$$