1. **Énoncé du problème :** Déterminer la mise $x$ pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire que l'espérance de gain $E_g$ soit nulle. 2. **Formule de l'espérance :** L'espérance de gain est donnée par $$E_g = \sum (\text{gain possible} \times \text{probabilité})$$ Pour un jeu équitable, on impose $$E_g = 0$$ 3. **Définition des variables :** Soit $x$ la mise initiale. Supposons que le jeu ait $n$ issues possibles avec gains $g_i$ et probabilités $p_i$. 4. **Équation de l'espérance :** $$E_g = \sum_{i=1}^n g_i p_i = 0$$ Les gains $g_i$ sont souvent exprimés en fonction de $x$ (par exemple, gain net = gain brut - mise). 5. **Exemple d'équation :** Supposons deux issues : - Gain $a$ avec probabilité $p$ - Perte $-x$ avec probabilité $1-p$ Alors $$E_g = a p + (-x)(1-p) = 0$$ 6. **Résolution :** $$a p = x (1-p)$$ $$x = \frac{a p}{1-p}$$ 7. **Conclusion :** La mise équitable $x$ est calculée en fonction des gains et probabilités pour que l'espérance soit nulle. **Remarque :** Sans données précises sur les gains et probabilités, la formule générale est celle-ci.