1. **Énoncé du problème :** Une urne contient 40 billes. Une bille vaut 18, 10 billes valent un montant mystère $x$, et les autres ne valent rien. Le joueur mise 2 et reçoit sa mise plus le gain s'il tire une bille gagnante. Le jeu est équitable, donc l'espérance de gain est 2. 2. **Formule de l'espérance :** L'espérance $E$ est la somme des gains pondérés par leurs probabilités. $$E = \sum (\text{gain} \times \text{probabilité})$$ 3. **Calcul des probabilités :** - Probabilité de tirer la bille à 18 : $\frac{1}{40}$ - Probabilité de tirer une bille mystère : $\frac{10}{40} = \frac{1}{4}$ - Probabilité de tirer une bille sans gain : $\frac{29}{40}$ 4. **Calcul des gains nets :** Le joueur reçoit sa mise de 2 plus le montant sur la bille. Le gain net est donc le montant sur la bille plus 2. - Gain bille 18 : $18 + 2 = 20$ - Gain bille mystère : $x + 2$ - Gain bille sans gain : $0$ 5. **Équation d'équité :** $$E = 20 \times \frac{1}{40} + (x + 2) \times \frac{10}{40} + 0 \times \frac{29}{40} = 2$$ 6. **Simplification :** $$\frac{20}{40} + \frac{10(x + 2)}{40} = 2$$ $$\frac{20}{40} + \frac{10x + 20}{40} = 2$$ $$\frac{20 + 10x + 20}{40} = 2$$ $$\frac{10x + 40}{40} = 2$$ 7. **Annulation des dénominateurs :** $$\cancel{\frac{10x + 40}{\cancel{40}}} = 2 \times \cancel{40}$$ $$10x + 40 = 80$$ 8. **Résolution pour $x$ :** $$10x = 80 - 40$$ $$10x = 40$$ $$x = \frac{40}{10}$$ $$x = 4$$ **Réponse finale :** Chaque bille mystère permet de remporter 4.