1. Énoncé du problème : Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type du poids total de l'avion chargé de 100 passagers et leurs bagages. 2. Formules utilisées : - Espérance mathématique d'une somme de variables indépendantes : $$E\left(\sum X_i\right) = \sum E(X_i)$$ - Variance d'une somme de variables indépendantes : $$Var\left(\sum X_i\right) = \sum Var(X_i)$$ - Écart-type : $$\sigma = \sqrt{Var}$$ 3. Calculs intermédiaires : - Poids moyen d'un passager + bagages : $$70 + 20 = 90\text{ kg}$$ - Variance d'un passager + bagages : $$10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200\text{ kg}^2$$ - Pour 100 passagers : - Espérance totale : $$100 \times 90 = 9000\text{ kg} = 9\text{ tonnes}$$ - Variance totale : $$100 \times 200 = 20000\text{ kg}^2$$ - Écart-type total : $$\sqrt{20000} = 141.42\text{ kg} = 0.14142\text{ tonnes}$$ - Poids total avion chargé : - Espérance : $$120 + 9 = 129\text{ tonnes}$$ - Variance : $$0.14142^2 = 0.02\text{ tonnes}^2$$ - Écart-type : $$0.14142\text{ tonnes}$$ 4. Pour la question 2, méthode alternative (utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev) : - Soit $X$ le poids total de l'appareil chargé. - On sait que $E(X) = 129$ tonnes et $Var(X) = 0.02$ tonnes². - On veut trouver une borne inférieure pour $P(X \leq 129.42)$. - L'inégalité de Tchebychev donne : $$P(|X - E(X)| \geq k) \leq \frac{Var(X)}{k^2}$$ - Ici, $k = 129.42 - 129 = 0.42$ tonnes. - Donc : $$P(X \geq 129.42) = P(X - 129 \geq 0.42) \leq P(|X - 129| \geq 0.42) \leq \frac{0.02}{0.42^2} = \frac{0.02}{0.1764} \approx 0.1135$$ - Ainsi : $$P(X \leq 129.42) = 1 - P(X \geq 129.42) \geq 1 - 0.1135 = 0.8865$$ 5. Conclusion : La probabilité minimale que le poids total ne dépasse pas 129.42 tonnes est d'environ 0.8865, soit 88.65%. Cette méthode ne nécessite pas la connaissance de la loi exacte des variables aléatoires, seulement leurs espérances et variances.