1. **Énoncé du problème :** Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type du poids total de l'avion chargé de 100 passagers et leurs bagages. 2. **Formules et règles importantes :** - L'espérance mathématique d'une somme de variables indépendantes est la somme des espérances : $$E\left(\sum X_i\right) = \sum E(X_i)$$ - La variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances : $$Var\left(\sum X_i\right) = \sum Var(X_i)$$ - L'écart-type est la racine carrée de la variance : $$\sigma = \sqrt{Var}$$ 3. **Calcul de l'espérance mathématique totale :** - Poids avion vide : 120 tonnes = 120000 kg - Poids total passagers : $100 \times 70 = 7000$ kg - Poids total bagages : $100 \times 20 = 2000$ kg - Espérance totale : $$E_{total} = 120000 + 7000 + 2000 = 129000 \text{ kg}$$ 4. **Calcul de la variance totale :** - Variance poids passager : $10^2 = 100$ - Variance bagages : $10^2 = 100$ - Variance poids total passagers : $100 \times 100 = 10000$ - Variance poids total bagages : $100 \times 100 = 10000$ - Variance totale passagers + bagages : $10000 + 10000 = 20000$ - Écart-type total passagers + bagages : $$\sigma_{total} = \sqrt{20000} = 141.42 \text{ kg}$$ 5. **Écart-type total de l'appareil chargé :** L'avion vide a un poids fixe, donc variance nulle. L'écart-type total est donc celui des passagers + bagages : $$\sigma_{appareil} = 141.42 \text{ kg}$$ --- 6. **Deuxième question :** Trouver une borne minimale de la probabilité que le poids total dépasse 129420 kg (129,42 tonnes) en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. 7. **Données :** - Espérance totale $\mu = 129000$ kg - Seuil $a = 129420$ kg - Écart $d = a - \mu = 420$ kg - Variance $\sigma^2 = 20000$ 8. **Inégalité de Tchebychev :** $$P(|X - \mu| \geq d) \leq \frac{\sigma^2}{d^2}$$ 9. **Calcul de la borne :** $$P(X \geq 129420) \leq P(|X - 129000| \geq 420) \leq \frac{20000}{420^2} = \frac{20000}{176400} \approx 0.1135$$ 10. **Interprétation :** La probabilité que le poids dépasse 129,42 tonnes est au plus environ 11,35%. Pour que le commandant refuse d'embarquer une partie des bagages afin de respecter la limite, cette probabilité minimale est donc environ 11,35%.