1. **Énoncé du problème :** On étudie une épidémie avec trois groupes de malades selon le délai de consultation : jour même (A), lendemain (B), ou deux jours après (C). On connaît les proportions de malades dans chaque groupe et les probabilités de guérison (G) dans la semaine. 2. **Arbre de probabilités :** - $P(A) = 0{,}35$, $P(B) = 0{,}30$, $P(C) = 0{,}35$ - $P(G|A) = 0{,}97$, $P(G|B) = 0{,}65$, $P(G|C) = 0{,}46$ - $P(\overline{G}|A) = 1 - 0{,}97 = 0{,}03$, $P(\overline{G}|B) = 0{,}35$, $P(\overline{G}|C) = 0{,}54$ 3. **Calcul de $P(A \cap G)$ :** $$ P(A \cap G) = P(A) \times P(G|A) = 0{,}35 \times 0{,}97 = 0{,}3395 $$ 4. **Calcul de $P(G)$ :** $$ P(G) = P(A \cap G) + P(B \cap G) + P(C \cap G) = P(A)P(G|A) + P(B)P(G|B) + P(C)P(G|C) $$ $$ = 0{,}35 \times 0{,}97 + 0{,}30 \times 0{,}65 + 0{,}35 \times 0{,}46 = 0{,}3395 + 0{,}195 + 0{,}161 = 0{,}6955 $$ 5. **Indépendance entre A et G ?** Deux événements A et G sont indépendants si et seulement si $P(A \cap G) = P(A) \times P(G)$. Calculons $P(A) \times P(G)$ : $$ 0{,}35 \times 0{,}6955 = 0{,}243425 $$ Or $P(A \cap G) = 0{,}3395 \neq 0{,}243425$, donc A et G ne sont pas indépendants. **Réponses finales :** - $P(A \cap G) = 0{,}3395$ - $P(G) = 0{,}6955$ - A et G ne sont pas indépendants.