1. **Énoncé du problème** : On étudie une épidémie bovine avec un test de dépistage. On connaît les probabilités suivantes : - $P(M) = 0{,}01$ (animal porteur de la maladie) - $P(M1) = 0{,}99$ (animal sain) - $P(T|M) = 0{,}95$ (test positif si malade) - $P(T1|M1) = 0{,}85$ (test négatif si sain) 2. **Arbre pondéré** : - Première branche : $M$ avec probabilité $0{,}01$, $M1$ avec probabilité $0{,}99$ - Deuxième branche : - Si $M$, $T$ avec $0{,}95$, $T1$ avec $0{,}05$ - Si $M1$, $T$ avec $0{,}15$, $T1$ avec $0{,}85$ 3. **Calcul de $P(M \cap T)$** : $$P(M \cap T) = P(M) \times P(T|M) = 0{,}01 \times 0{,}95 = 0{,}0095$$ 4. **Calcul de $P(T)$** : $$P(T) = P(M \cap T) + P(M1 \cap T) = 0{,}0095 + (0{,}99 \times 0{,}15) = 0{,}0095 + 0{,}1485 = 0{,}158$$ 5. **Probabilité qu’un animal avec test positif soit malade $P(M|T)$** : $$P(M|T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}0095}{0{,}158} \approx 0{,}0601$$ 6. **Variable aléatoire $X$ (coût engagé)** : - $X=100$ euros si test positif (soins) - $X=1000$ euros si test négatif et malade (abattage) - $X=0$ euros sinon (sain et test négatif) 7. **Calcul de $P(X=100)$** : C’est la probabilité que le test soit positif : $$P(X=100) = P(T) = 0{,}158$$ Interprétation : 15,8 % des animaux nécessitent des soins. 8. **Loi de probabilité de $X$** : - $P(X=100) = 0{,}158$ - $P(X=1000) = P(M \cap T1) = P(M) \times P(T1|M) = 0{,}01 \times 0{,}05 = 0{,}0005$ - $P(X=0) = 1 - P(X=100) - P(X=1000) = 1 - 0{,}158 - 0{,}0005 = 0{,}8415$ 9. **Espérance $E(X)$** : $$E(X) = 100 \times 0{,}158 + 1000 \times 0{,}0005 + 0 \times 0{,}8415 = 15{,}8 + 0{,}5 + 0 = 16{,}3$$ Interprétation : Le coût moyen par animal testé est de 16,3 euros. 10. **Coût total pour 200 bêtes** : $$200 \times 16{,}3 = 3260$$ L’éleveur doit prévoir 3260 euros pour tester et soigner son troupeau.