1. **Énoncé du problème :** Un sac contient 3 jetons rouges, 2 jetons verts et 5 jetons bleus. On tire un jeton au hasard. On appelle « succès » l'évènement S : « on tire un jeton bleu ». 2. **Calcul de la probabilité d'un succès p et d'un échec q :** Le nombre total de jetons est $3 + 2 + 5 = 10$. La probabilité de tirer un jeton bleu (succès) est donc : $$p = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$ La probabilité d'échec (ne pas tirer un jeton bleu) est : $$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ 3. **Valeurs possibles de la variable aléatoire X (nombre de succès sur 2 tirages sans remise) :** Les valeurs possibles sont $0$, $1$ ou $2$ succès. 4. **Calcul des probabilités $p_0$, $p_1$, $p_2$ :** - $p_0$ : Probabilité d'obtenir 0 succès (aucun jeton bleu) : $$p_0 = \frac{5}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$$ Explication : premier jeton non bleu (5 jetons non bleus sur 10), puis deuxième jeton non bleu (4 jetons non bleus restants sur 9). - $p_2$ : Probabilité d'obtenir 2 succès (deux jetons bleus) : $$p_2 = \frac{5}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$$ Explication : premier jeton bleu (5 sur 10), puis deuxième jeton bleu (4 sur 9). - $p_1$ : Probabilité d'obtenir 1 succès (un jeton bleu et un non bleu) : $$p_1 = 1 - p_0 - p_2 = 1 - \frac{2}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$$ 5. **Indépendance des tirages :** Les tirages ne sont pas indépendants car le résultat du premier tirage modifie la composition du sac pour le deuxième tirage. 6. **Calcul de l'espérance $E(X)$ :** $$E(X) = 0 \times p_0 + 1 \times p_1 + 2 \times p_2 = 0 + \frac{5}{9} + 2 \times \frac{2}{9} = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1$$ Interprétation : en moyenne, on obtient 1 jeton bleu sur 2 tirages sans remise. --- **Résumé tableau :** | Nombre de succès k | 0 | 1 | 2 | |--------------------|---|---|---| | P(X=k) | $\frac{2}{9}$ | $\frac{5}{9}$ | $\frac{2}{9}$ |