1. **Énoncé du problème** : Une urne contient 4 boules blanches (B), 6 boules noires (N) et 2 boules rouges (R). On tire deux boules successivement sans remise. 2. **Formule et règles importantes** : La probabilité d'un événement composé de deux tirages successifs sans remise est le produit des probabilités conditionnelles : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$ 3. **Calcul des probabilités demandées** : **1) A : les deux boules tirées sont blanches** - Probabilité de tirer une boule blanche au premier tirage : $$P(B_1) = \frac{4}{12}$$ - Après avoir tiré une blanche, il reste 3 blanches sur 11 boules : $$P(B_2|B_1) = \frac{3}{11}$$ - Donc : $$P(A) = P(B_1) \times P(B_2|B_1) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{12}{132} = \frac{1}{11}$$ **2) B : la première boule est noire et la seconde est rouge** - Probabilité de tirer une noire au premier tirage : $$P(N_1) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ - Après avoir tiré une noire, il reste 2 rouges sur 11 boules : $$P(R_2|N_1) = \frac{2}{11}$$ - Donc : $$P(B) = P(N_1) \times P(R_2|N_1) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{11} = \frac{1}{11}$$ **3) C : au moins une boule est rouge** - Il est plus simple de calculer la probabilité complémentaire que aucune boule ne soit rouge (c'est-à-dire que les deux boules soient blanches ou noires). - Nombre total de boules : 12 - Nombre de boules non rouges : 4 + 6 = 10 - Probabilité que la première boule ne soit pas rouge : $$P(\overline{R}_1) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$ - Après avoir tiré une boule non rouge, il reste 9 boules non rouges sur 11 : $$P(\overline{R}_2|\overline{R}_1) = \frac{9}{11}$$ - Donc la probabilité que les deux boules ne soient pas rouges : $$P(\overline{C}) = \frac{5}{6} \times \frac{9}{11} = \frac{45}{66} = \frac{15}{22}$$ - La probabilité que au moins une boule soit rouge est donc : $$P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{15}{22} = \frac{7}{22}$$ 4. **Conclusion** : - $P(A) = \frac{1}{11}$ - $P(B) = \frac{1}{11}$ - $P(C) = \frac{7}{22}$