1. **Énoncé du problème :** On considère un chalutier qui pêche dans une zone où la probabilité qu’un banc de poissons soit présent est $0{,}7$. Le sonar détecte un banc avec une probabilité de $0{,}8$ si un banc est présent, et détecte un banc à tort avec une probabilité de $0{,}05$ s’il n’y a pas de banc. 2. **Arbre pondéré :** - Probabilité qu’il y ait un banc : $P(B) = 0{,}7$ - Probabilité qu’il n’y ait pas de banc : $P(\overline{B}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ - Si banc présent, sonar détecte : $P(S|B) = 0{,}8$ - Si banc présent, sonar ne détecte pas : $P(\overline{S}|B) = 0{,}2$ - Si pas de banc, sonar détecte à tort : $P(S|\overline{B}) = 0{,}05$ - Si pas de banc, sonar ne détecte pas : $P(\overline{S}|\overline{B}) = 0{,}95$ 3. **Calcul de la probabilité qu’il y ait un banc et que le sonar indique sa présence :** $$P(B \cap S) = P(B) \times P(S|B) = 0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56$$ 4. **Calcul de la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc :** $$P(S) = P(B \cap S) + P(\overline{B} \cap S) = P(B)P(S|B) + P(\overline{B})P(S|\overline{B})$$ $$= 0{,}7 \times 0{,}8 + 0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}56 + 0{,}015 = 0{,}575$$ 5. **Calcul de la probabilité qu’un banc soit réellement présent sachant que le sonar indique un banc (formule de Bayes) :** $$P(B|S) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)} = \frac{0{,}56}{0{,}575} = \frac{56}{57,5} = \frac{112}{115}$$ **Réponse finale :** - L’arbre pondéré est construit avec les probabilités données. - $P(B \cap S) = 0{,}56$ - $P(S) = 0{,}575$ - $P(B|S) = \frac{112}{115}$ (fraction irréductible)