1. **Énoncé du problème :** On a une entreprise qui fabrique deux types de drones : - Drones à deux hélices (événement $A$) - Drones à quatre hélices (événement $\overline{A}$) On prélève 500 drones et on connaît : - 300 drones ont deux hélices, donc $P(A) = \frac{300}{500} = 0{,}6$. - Parmi les drones à deux hélices, 2% sont défectueux, donc $P(D|A) = 0{,}02$. - Parmi les drones à quatre hélices, 96% ne sont pas défectueux, donc $P(\overline{D}|\overline{A}) = 0{,}96$. On veut calculer plusieurs probabilités et répondre à des questions sur ces événements. 2. **Calcul des probabilités demandées :** - $P(A) = 0{,}6$ (donné) - $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ - $P(D|A) = 0{,}02$ (donné) - $P(D|\overline{A}) = 1 - P(\overline{D}|\overline{A}) = 1 - 0{,}96 = 0{,}04$ 3. **Arbre pondéré des probabilités :** $$ \begin{array}{c} \text{Choix du drone} \\ \downarrow \\ \begin{cases} A: P=0{,}6 \\ \overline{A}: P=0{,}4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} D: P(D|A)=0{,}02, \quad \overline{D}: 0{,}98 \\ D: P(D|\overline{A})=0{,}04, \quad \overline{D}: 0{,}96 \end{cases} \end{array} $$ 4. **Calcul de la probabilité que le drone ait deux hélices et soit défectueux :** $$ P(A \cap D) = P(A) \times P(D|A) = 0{,}6 \times 0{,}02 = 0{,}012 $$ 5. **Calcul de la probabilité qu’un drone soit défectueux :** On utilise la formule des probabilités totales : $$ P(D) = P(A)P(D|A) + P(\overline{A})P(D|\overline{A}) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}04 = 0{,}012 + 0{,}016 = 0{,}028 $$ 6. **Probabilité qu’un drone défectueux ait quatre hélices :** On cherche $P(\overline{A}|D)$, la probabilité que le drone ait quatre hélices sachant qu’il est défectueux. Par la formule de Bayes : $$ P(\overline{A}|D) = \frac{P(\overline{A} \cap D)}{P(D)} = \frac{P(\overline{A}) P(D|\overline{A})}{P(D)} = \frac{0{,}4 \times 0{,}04}{0{,}028} = \frac{0{,}016}{0{,}028} \approx 0{,}5714 $$ **Réponse finale :** - $P(A) = 0{,}6$ - $P(\overline{A}) = 0{,}4$ - $P(D|A) = 0{,}02$ - $P(D|\overline{A}) = 0{,}04$ - $P(A \cap D) = 0{,}012$ - $P(D) = 0{,}028$ - $P(\overline{A}|D) \approx 0{,}5714$