1. **Énoncé du problème** : On étudie un groupe de 800 étudiants répartis en BTS, BUT et Université, avec des informations sur leur statut boursier. 2. **Complétons le tableau croisé d’effectifs** : - Total étudiants = 800 - Étudiants boursiers = 192 - Étudiants inscrits à l’Université = 17,5% de 800 = $0{,}175 \times 800 = 140$ - Étudiants en BTS = 58% de 800 = $0{,}58 \times 800 = 464$ - Étudiants inscrits à l’Université boursiers = $\frac{3}{7}$ des étudiants inscrits à l’Université = $\frac{3}{7} \times 140 = 60$ - Nombre d’étudiants boursiers en BTS est deux fois celui en BUT. 3. **Calcul du nombre d’étudiants en BUT** : $$\text{Total} = 800 = 464 + \text{BUT} + 140 \Rightarrow \text{BUT} = 800 - 464 - 140 = 196$$ 4. **Définissons les variables** : - Soit $x$ le nombre d’étudiants boursiers en BUT. - Alors, boursiers en BTS = $2x$. - Boursiers en Université = 60. - Total boursiers = 192 donc : $$2x + x + 60 = 192 \Rightarrow 3x = 132 \Rightarrow x = 44$$ 5. **Complétons les effectifs boursiers** : - BTS boursiers = $2 \times 44 = 88$ - BUT boursiers = 44 - Université boursiers = 60 6. **Calcul des non boursiers par filière** : - BTS non boursiers = $464 - 88 = 376$ - BUT non boursiers = $196 - 44 = 152$ - Université non boursiers = $140 - 60 = 80$ 7. **Tableau croisé complété** : | | Boursier | Non boursier | Total | |-----------|----------|--------------|-------| | BTS | 88 | 376 | 464 | | BUT | 44 | 152 | 196 | | Université| 60 | 80 | 140 | | Total | 192 | 608 | 800 | 8. **Calcul des probabilités** : - $P(A) = P(\text{étudiant inscrit en BUT}) = \frac{196}{800} = 0{,}245$ - $P(B) = P(\text{étudiant boursier}) = \frac{192}{800} = 0{,}24$ 9. **Évènement $A \cap B$** : - C’est l’étudiant inscrit en BUT et boursier. - $P(A \cap B) = \frac{44}{800} = 0{,}055$ 10. **Probabilité conditionnelle $P_A(B)$** : $$P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{44}{800}}{\frac{196}{800}} = \frac{44}{196}$$ On simplifie : $$\frac{44}{196} = \frac{\cancel{44}}{\cancel{196}} = \frac{11}{49} \approx 0{,}224$$ Interprétation : Parmi les étudiants inscrits en BUT, environ 22,4% sont boursiers. 11. **Probabilité que l’étudiant soit en BTS sachant qu’il n’est pas boursier** : $$P_{\overline{B}}(\text{BTS}) = P(\text{BTS} | \text{non boursier}) = \frac{P(\text{BTS} \cap \text{non boursier})}{P(\text{non boursier})} = \frac{376/800}{608/800} = \frac{376}{608}$$ Simplifions : $$\frac{376}{608} = \frac{\cancel{8} \times 47}{\cancel{8} \times 76} = \frac{47}{76} \approx 0{,}618$$ Interprétation : Parmi les étudiants non boursiers, environ 61,8% sont inscrits en BTS.