1. **Énoncé du problème :** Une société de vente en ligne étudie la fidélité de ses clients. On note : - $R$ : le client est régulier (achats chaque année depuis 3 ans), $P(R)=0{,}6$. - $F$ : le client a acheté la carte de fidélité. On sait que parmi les clients réguliers, $47\%$ ont acheté la carte, donc $P(F|R)=0{,}47$. Parmi tous les clients, $38\%$ ont acheté la carte, donc $P(F)=0{,}38$. 2. **Arbre de probabilités :** On a deux branches principales : $R$ et $\overline{R}$ avec $P(R)=0{,}6$ et $P(\overline{R})=1-0{,}6=0{,}4$. De chaque branche, on a deux sous-branches : $F$ et $\overline{F}$. - Pour $R$ : $P(F|R)=0{,}47$, donc $P(\overline{F}|R)=1-0{,}47=0{,}53$. - Pour $\overline{R}$ : on cherche $P(F|\overline{R})$. 3. **Calcul de $P(R \cap F)$ :** $$P(R \cap F) = P(R) \times P(F|R) = 0{,}6 \times 0{,}47 = 0{,}282$$ 4. **Calcul de $P(F|\overline{R})$ :** On utilise la formule des probabilités totales : $$P(F) = P(R \cap F) + P(\overline{R} \cap F) = P(R)P(F|R) + P(\overline{R})P(F|\overline{R})$$ On remplace les valeurs connues : $$0{,}38 = 0{,}6 \times 0{,}47 + 0{,}4 \times P(F|\overline{R})$$ $$0{,}38 = 0{,}282 + 0{,}4 \times P(F|\overline{R})$$ $$0{,}38 - 0{,}282 = 0{,}4 \times P(F|\overline{R})$$ $$0{,}098 = 0{,}4 \times P(F|\overline{R})$$ $$P(F|\overline{R}) = \frac{0{,}098}{0{,}4} = 0{,}245$$ 5. **Vérification de l'affirmation du directeur :** Il affirme que parmi les clients ayant acheté la carte, plus de 80\% sont réguliers. On calcule $P(R|F)$ avec la formule de Bayes : $$P(R|F) = \frac{P(R \cap F)}{P(F)} = \frac{0{,}282}{0{,}38} \approx 0{,742}$$ Donc environ 74,2\%, ce qui est inférieur à 80\%. L'affirmation est donc fausse. **Réponses finales :** - $P(R \cap F) = 0{,}282$ - $P(F|\overline{R}) = 0{,}245$ - $P(R|F) \approx 0{,}742$ (inférieur à 0,8)