1. Énonçons le problème : Soit $U_1, U_2, U_3$ trois variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$. Montrer que la somme $U_1 + U_2 + U_3$ suit une loi binomiale de paramètres $3$ et $p$. 2. Rappelons la définition : Une variable aléatoire $U$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ si $P(U=1)=p$ et $P(U=0)=1-p$. 3. La somme de variables de Bernoulli indépendantes suit une loi binomiale. Plus précisément, si $U_i \sim Bernoulli(p)$ indépendantes, alors $S = \sum_{i=1}^n U_i \sim Binomial(n,p)$. 4. Ici, $n=3$, donc $S = U_1 + U_2 + U_3$. 5. La fonction de masse de probabilité (fmp) de $S$ est donnée par : $$ P(S = k) = \binom{3}{k} p^k (1-p)^{3-k}, \quad k=0,1,2,3 $$ 6. Cette formule correspond exactement à la loi binomiale de paramètres $3$ et $p$. 7. Conclusion : La somme $U_1 + U_2 + U_3$ suit bien une loi binomiale $Binomial(3,p)$.