1. Énoncé du problème : Un sac contient 4 boules rouges, 3 boules noires et 2 boules vertes. On tire simultanément 3 boules. Nous devons calculer différents nombres de tirages possibles selon les conditions données. 2. Formule utilisée : Le nombre total de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ est donné par la combinaison $$C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ 3. Calcul du nombre total de tirages possibles (sans condition) : Le nombre total de boules est $4 + 3 + 2 = 9$. Le nombre de tirages de 3 boules parmi 9 est $$C(9,3) = \frac{9!}{3!6!} = 84$$. 4. Nombre de tirages contenant 2 boules noires et 1 verte : - Choisir 2 boules noires parmi 3 : $$C(3,2) = 3$$ - Choisir 1 boule verte parmi 2 : $$C(2,1) = 2$$ Nombre total : $$3 \times 2 = 6$$. 5. Nombre de tirages contenant exactement 1 boule rouge : - Choisir 1 boule rouge parmi 4 : $$C(4,1) = 4$$ - Choisir 2 boules parmi les 5 restantes (3 noires + 2 vertes) : $$C(5,2) = 10$$ Nombre total : $$4 \times 10 = 40$$. 6. Nombre de tirages contenant au moins une boule noire : - Calculer le complément : tirages sans boule noire. - Boules non noires : 4 rouges + 2 vertes = 6 - Tirages sans boule noire : $$C(6,3) = 20$$ - Donc tirages avec au moins une boule noire : $$84 - 20 = 64$$. 7. Nombre de tirages contenant au moins une boule verte : - Complément : tirages sans boule verte. - Boules non vertes : 4 rouges + 3 noires = 7 - Tirages sans boule verte : $$C(7,3) = 35$$ - Donc tirages avec au moins une boule verte : $$84 - 35 = 49$$. Réponses finales : 1. 84 2. 6 3. 40 4. 64 5. 49