1. **Énoncé du problème** : On considère une variable aléatoire $X$ représentant le diamètre d'une bille, avec les valeurs possibles et leurs probabilités données. On doit calculer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma_X$ de cette loi de probabilité. 2. **Définition de la variable $Y$** : Pour simplifier les calculs, on définit $Y = 1000X - 1300$. 3. **Calcul des valeurs de $Y$ et leurs probabilités** : - Pour $X=1,298$, $Y = 1000 \times 1,298 - 1300 = 1298 - 1300 = -2$ - Pour $X=1,299$, $Y = 1299 - 1300 = -1$ - Pour $X=1,3$, $Y = 1300 - 1300 = 0$ - Pour $X=1,301$, $Y = 1301 - 1300 = 1$ - Pour $X=1,302$, $Y = 1302 - 1300 = 2$ Les probabilités restent les mêmes : $P(Y = y_i) = P(X = x_i)$. 4. **Calcul de l'espérance de $Y$** : $$E(Y) = \sum y_i P(Y = y_i) = (-2) \times 0,2 + (-1) \times 0,1 + 0 \times 0,2 + 1 \times 0,4 + 2 \times 0,1$$ $$= -0,4 - 0,1 + 0 + 0,4 + 0,2 = 0,1$$ 5. **Calcul de la variance de $Y$** : $$E(Y^2) = (-2)^2 \times 0,2 + (-1)^2 \times 0,1 + 0^2 \times 0,2 + 1^2 \times 0,4 + 2^2 \times 0,1$$ $$= 4 \times 0,2 + 1 \times 0,1 + 0 + 1 \times 0,4 + 4 \times 0,1 = 0,8 + 0,1 + 0 + 0,4 + 0,4 = 1,7$$ La variance est : $$Var(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 1,7 - (0,1)^2 = 1,7 - 0,01 = 1,69$$ 6. **Lien entre $X$ et $Y$ pour l'espérance et la variance** : - $Y = 1000X - 1300$ donc $X = \frac{Y + 1300}{1000}$ - $E(X) = \frac{E(Y) + 1300}{1000} = \frac{0,1 + 1300}{1000} = \frac{1300,1}{1000} = 1,3001$ - $Var(X) = \left(\frac{1}{1000}\right)^2 Var(Y) = \frac{1,69}{1000^2} = 1,69 \times 10^{-6}$ 7. **Calcul de l'écart-type de $X$** : $$\sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1,69 \times 10^{-6}} = 0,0013$$ **Réponse finale** : - Espérance $E(X) = 1,3001$ cm - Écart-type $\sigma_X = 0,0013$ cm