1. **Énoncé du problème** : Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{0, 1, \ldots, N\}$. Montrer que $$E(X) = \sum_{n=0}^{N-1} P(X > n).$$ 2. **Formule de l'espérance** : Par définition, l'espérance de $X$ est $$E(X) = \sum_{k=0}^N k P(X = k).$$ 3. **Utilisation de la somme des probabilités** : On peut écrire $k$ comme une somme d'indicateurs : $$k = \sum_{n=0}^{k-1} 1,$$ car si $k=0$, la somme est nulle, sinon on compte $k$ fois 1. 4. **Substitution dans l'espérance** : $$E(X) = \sum_{k=0}^N \left( \sum_{n=0}^{k-1} 1 \right) P(X = k) = \sum_{k=0}^N \sum_{n=0}^{k-1} P(X = k).$$ 5. **Inversion des sommes** : On échange les sommes sur $k$ et $n$ : $$E(X) = \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{k=n+1}^N P(X = k).$$ 6. **Interprétation de la somme intérieure** : $$\sum_{k=n+1}^N P(X = k) = P(X > n).$$ 7. **Conclusion** : $$E(X) = \sum_{n=0}^{N-1} P(X > n).$$ Cette formule exprime l'espérance comme la somme des probabilités que $X$ dépasse chaque entier de $0$ à $N-1$.