1. **Énoncé du problème :** Nous avons une variable aléatoire $X$ avec la densité de probabilité $$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{\theta}} & \text{si } x \in ]0, \theta] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$ Nous devons calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$ de $X$. 2. **Formules utilisées :** L'espérance d'une variable continue est $$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) dx$$ La variance est $$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$ avec $$E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f_X(x) dx$$ 3. **Calcul de l'espérance $E(X)$ :** $$E(X) = \int_0^{\theta} x \cdot \frac{1}{2\sqrt{\theta}} dx = \frac{1}{2\sqrt{\theta}} \int_0^{\theta} x dx$$ Calculons l'intégrale : $$\int_0^{\theta} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\theta} = \frac{\theta^2}{2}$$ Donc $$E(X) = \frac{1}{2\sqrt{\theta}} \cdot \frac{\theta^2}{2} = \frac{\theta^2}{4\sqrt{\theta}}$$ Simplifions : $$\frac{\theta^2}{4\sqrt{\theta}} = \frac{\theta^{2}}{4 \theta^{1/2}} = \frac{\theta^{3/2}}{4}$$ 4. **Calcul de $E(X^2)$ :** $$E(X^2) = \int_0^{\theta} x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\theta}} dx = \frac{1}{2\sqrt{\theta}} \int_0^{\theta} x^2 dx$$ Calculons l'intégrale : $$\int_0^{\theta} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\theta} = \frac{\theta^3}{3}$$ Donc $$E(X^2) = \frac{1}{2\sqrt{\theta}} \cdot \frac{\theta^3}{3} = \frac{\theta^3}{6\sqrt{\theta}}$$ Simplifions : $$\frac{\theta^3}{6\sqrt{\theta}} = \frac{\theta^{3}}{6 \theta^{1/2}} = \frac{\theta^{5/2}}{6}$$ 5. **Calcul de la variance $V(X)$ :** $$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{\theta^{5/2}}{6} - \left( \frac{\theta^{3/2}}{4} \right)^2 = \frac{\theta^{5/2}}{6} - \frac{\theta^{3}}{16}$$ 6. **Interprétation :** L'espérance $E(X)$ est la moyenne pondérée des valeurs possibles de $X$ selon sa densité. La variance $V(X)$ mesure la dispersion autour de cette moyenne. **Réponse finale :** $$E(X) = \frac{\theta^{3/2}}{4}$$ $$V(X) = \frac{\theta^{5/2}}{6} - \frac{\theta^{3}}{16}$$