1. **Énoncé du problème :** Karim tire 3 fois au but. Chaque tir peut être un but (M) avec probabilité 0.7 ou un raté (R) avec probabilité 0.3. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre total de buts marqués sur ces 3 tirs. 2. **Arbre pondéré :** Chaque tir a deux issues possibles : M (but) avec $p=0.7$ et R (raté) avec $p=0.3$. L'arbre a 3 niveaux, chaque niveau représentant un tir. Le nombre total d'issues est $2^3=8$. 3. **Loi de probabilité de $X$ :** $X$ peut prendre les valeurs $0,1,2,3$. Le nombre de buts suit une loi binomiale $B(n=3,p=0.7)$. La probabilité que $X=k$ est donnée par : $$P(X=k) = \binom{3}{k} (0.7)^k (0.3)^{3-k}$$ Calculons chaque probabilité : - $P(X=0) = \binom{3}{0} (0.7)^0 (0.3)^3 = 1 \times 1 \times 0.027 = 0.027$ - $P(X=1) = \binom{3}{1} (0.7)^1 (0.3)^2 = 3 \times 0.7 \times 0.09 = 0.189$ - $P(X=2) = \binom{3}{2} (0.7)^2 (0.3)^1 = 3 \times 0.49 \times 0.3 = 0.441$ - $P(X=3) = \binom{3}{3} (0.7)^3 (0.3)^0 = 1 \times 0.343 \times 1 = 0.343$ 4. **Espérance de $X$ :** Pour une loi binomiale $B(n,p)$, l'espérance est : $$E(X) = n \times p = 3 \times 0.7 = 2.1$$ --- 5. **Variable aléatoire $Y$ :** $Y$ représente le gain algébrique du spectateur. Supposons que le gain dépend du nombre de buts $X$ par une relation linéaire. 6. **Expression de $Y$ en fonction de $X$ :** Si on note $g$ le gain par but, et $c$ le coût initial, alors : $$Y = g \times X - c$$ (Si le problème ne donne pas $g$ et $c$, on peut supposer $Y = X$ ou autre selon contexte.) 7. **Espérance de $Y$ :** Par linéarité de l'espérance : $$E(Y) = g \times E(X) - c$$ Sans valeurs précises de $g$ et $c$, on ne peut pas calculer numériquement $E(Y)$. **Réponse finale :** - Loi de probabilité de $X$ : $$\begin{cases} P(X=0)=0.027 \\ P(X=1)=0.189 \\ P(X=2)=0.441 \\ P(X=3)=0.343 \end{cases}$$ - Espérance de $X$ : $$E(X)=2.1$$ - Expression de $Y$ : $$Y = gX - c$$ - Espérance de $Y$ : $$E(Y) = g \times 2.1 - c$$