1. **Énoncé du problème :** Deux joueurs A et B jouent à un jeu où A gagne chaque partie avec une probabilité $p$ et B gagne avec une probabilité $q = 1-p$. Le gagnant est le premier à avoir deux victoires de plus que l'autre. On cherche la probabilité que chaque joueur gagne la partie finale. 2. **Formule et règles importantes :** Ce problème est un cas classique de marche aléatoire avec absorption aux barrières $+2$ et $-2$. Soit $P_k$ la probabilité que le joueur A gagne sachant que la différence de victoires est $k$ (nombre de victoires de A moins nombre de victoires de B). On a les conditions aux limites : $$P_2 = 1 \quad \text{(A a gagné)}$$ $$P_{-2} = 0 \quad \text{(B a gagné)}$$ La relation de récurrence pour $k = -1,0,1$ est : $$P_k = p P_{k+1} + q P_{k-1}$$ 3. **Résolution :** On cherche $P_0$, la probabilité que A gagne au départ (différence 0). Posons $r = \frac{q}{p} = \frac{1-p}{p}$. La solution générale est connue : - Si $p \neq q$, alors $$P_0 = \frac{1 - r}{1 - r^2} = \frac{1 - \frac{q}{p}}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^2} = \frac{p - q}{p^2 - q^2}$$ Simplifions : $$p^2 - q^2 = (p - q)(p + q) = (p - q) \times 1 = p - q$$ Donc $$P_0 = \frac{p - q}{p - q} = 1$$ Cela semble incorrect, donc reprenons la formule classique : La probabilité que A gagne est $$P_0 = \frac{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^2}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^4}$$ Mais pour un seuil $N=2$, la formule correcte est : $$P_0 = \frac{1 - r^2}{1 - r^4}$$ 4. **Formule finale :** $$\boxed{P_0 = \frac{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^2}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^4}}$$ La probabilité que B gagne est donc $$1 - P_0$$ 5. **Interprétation :** - Si $p = q = 0.5$, alors $r=1$ et la formule s'indétermine. Dans ce cas, la probabilité est $$P_0 = \frac{N + k}{2N} = \frac{2 + 0}{4} = \frac{1}{2}$$ - Pour $p \neq q$, la formule ci-dessus donne la probabilité exacte.