1. **Énoncé du problème :** Dans une urne, il y a 6 boules blanches et 5 boules rouges, soit un total de 11 boules. On tire simultanément 4 boules au hasard, tous les tirages sont équiprobables. 2. **Formule utilisée :** Le nombre total de façons de tirer 4 boules parmi 11 est une combinaison : $$C_{11}^4 = \frac{11!}{4!\times(11-4)!}$$ La probabilité d'un événement est le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas possibles. 3. **Calcul du nombre total de tirages :** $$C_{11}^4 = \frac{11\times10\times9\times8}{4\times3\times2\times1} = 330$$ 4. **Calcul des probabilités :** - E : tirer 4 boules blanches Nombre de façons de choisir 4 blanches parmi 6 : $$C_6^4 = \frac{6\times5\times4\times3}{4\times3\times2\times1} = 15$$ Probabilité : $$P(E) = \frac{15}{330} = \frac{1}{22}$$ - F : tirer aucune boule blanche (donc 4 rouges) Nombre de façons de choisir 4 rouges parmi 5 : $$C_5^4 = \frac{5\times4\times3\times2}{4\times3\times2\times1} = 5$$ Probabilité : $$P(F) = \frac{5}{330} = \frac{1}{66}$$ - G : tirer au moins une boule blanche C'est l'événement contraire de F, donc : $$P(G) = 1 - P(F) = 1 - \frac{1}{66} = \frac{65}{66}$$ - H : tirer 2 boules blanches et 2 boules rouges Nombre de façons de choisir 2 blanches parmi 6 : $$C_6^2 = \frac{6\times5}{2\times1} = 15$$ Nombre de façons de choisir 2 rouges parmi 5 : $$C_5^2 = \frac{5\times4}{2\times1} = 10$$ Nombre total de façons : $$15 \times 10 = 150$$ Probabilité : $$P(H) = \frac{150}{330} = \frac{15}{33} = \frac{5}{11}$$ - I : tirer une boule blanche uniquement (donc 1 blanche et 3 rouges) Nombre de façons de choisir 1 blanche parmi 6 : $$C_6^1 = 6$$ Nombre de façons de choisir 3 rouges parmi 5 : $$C_5^3 = \frac{5\times4\times3}{3\times2\times1} = 10$$ Nombre total de façons : $$6 \times 10 = 60$$ Probabilité : $$P(I) = \frac{60}{330} = \frac{6}{33} = \frac{2}{11}$$ - K : tirer au plus 2 boules blanches (0, 1 ou 2 blanches) Somme des cas pour 0, 1 et 2 blanches : $$C_6^0 \times C_5^4 + C_6^1 \times C_5^3 + C_6^2 \times C_5^2 = 1\times5 + 6\times10 + 15\times10 = 5 + 60 + 150 = 215$$ Probabilité : $$P(K) = \frac{215}{330} = \frac{43}{66}$$