1. **Énoncé du problème :** On a deux boîtes U et V avec des cartes numérotées. On tire une carte de U, on la met dans V, puis on tire deux cartes simultanément de V. On veut calculer diverses probabilités liées aux événements A, B, C, et E. 2. **Données :** - U contient 6 cartes : 2 cartes 0, 3 cartes 1, 1 carte 2. - V contient 5 cartes : 3 cartes 1, 2 cartes 2. - Événements : - A : carte tirée de U est 0 - B : carte tirée de U est 1 - C : carte tirée de U est 2 - E : les deux cartes tirées de V ont le même numéro 3. **Calcul des probabilités conditionnelles $P(E/A)$, $P(E/B)$, puis $P(E \cap A)$ et $P(E \cap B)$ :** - Si on tire 0 de U (événement A), on ajoute une carte 0 à V. V devient : 3 cartes 1, 2 cartes 2, 1 carte 0 (total 6 cartes). - Calcul de $P(E/A)$ : tirer 2 cartes de même numéro parmi 6 cartes (3x1, 2x2, 1x0). Nombre total de tirages de 2 cartes : $\binom{6}{2} = 15$. Nombre de tirages avec 2 cartes identiques : - 2 cartes 1 : $\binom{3}{2} = 3$ - 2 cartes 2 : $\binom{2}{2} = 1$ - 2 cartes 0 : $\binom{1}{2} = 0$ (impossible) Donc $P(E/A) = \frac{3+1+0}{15} = \frac{4}{15}$. - Si on tire 1 de U (événement B), on ajoute une carte 1 à V. V devient : 4 cartes 1, 2 cartes 2 (total 7 cartes). Nombre total de tirages de 2 cartes : $\binom{7}{2} = 21$. Nombre de tirages avec 2 cartes identiques : - 2 cartes 1 : $\binom{4}{2} = 6$ - 2 cartes 2 : $\binom{2}{2} = 1$ Donc $P(E/B) = \frac{6+1}{21} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$. - Probabilités des événements A et B : $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. - Calcul de $P(E \cap A) = P(A) \times P(E/A) = \frac{1}{3} \times \frac{4}{15} = \frac{4}{45}$. - Calcul de $P(E \cap B) = P(B) \times P(E/B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. 4. **Calcul de $P(E)$ :** On utilise la loi totale : $P(E) = P(E \cap A) + P(E \cap B) + P(E \cap C)$. - Pour $C$ (tirer 2 de U), on ajoute une carte 2 à V : V devient 3 cartes 1, 3 cartes 2 (total 6 cartes). Nombre total de tirages : $\binom{6}{2} = 15$. Nombre de tirages avec 2 cartes identiques : - 2 cartes 1 : $\binom{3}{2} = 3$ - 2 cartes 2 : $\binom{3}{2} = 3$ Donc $P(E/C) = \frac{3+3}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$. $P(C) = \frac{1}{6}$. Donc $P(E \cap C) = P(C) \times P(E/C) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. Ainsi, $$P(E) = \frac{4}{45} + \frac{1}{6} + \frac{1}{15} = \frac{4}{45} + \frac{7.5}{45} + \frac{3}{45} = \frac{14.5}{45} = \frac{29}{90}.$$ 5. **Probabilité que la carte tirée de U porte le numéro 2 sachant que les deux cartes de V ont des numéros différents :** On cherche $P(C | E^c)$ où $E^c$ est l'événement "les deux cartes de V ont des numéros différents". $P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - \frac{29}{90} = \frac{61}{90}$. $P(C \cap E^c) = P(C) - P(C \cap E) = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$. Donc $$P(C | E^c) = \frac{P(C \cap E^c)}{P(E^c)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{61}{90}} = \frac{1}{10} \times \frac{90}{61} = \frac{9}{61}.$$ 6. **Probabilité que la carte tirée de U ne porte pas le numéro 0 sachant que les deux cartes de V ont le même numéro :** On cherche $P(A^c | E) = 1 - P(A | E)$. Par Bayes : $$P(A | E) = \frac{P(E \cap A)}{P(E)} = \frac{\frac{4}{45}}{\frac{29}{90}} = \frac{4}{45} \times \frac{90}{29} = \frac{8}{29}.$$ Donc $$P(A^c | E) = 1 - \frac{8}{29} = \frac{21}{29}.$$ 7. **Variable aléatoire $X$ égale au produit des numéros des trois cartes (carte tirée de U + deux cartes tirées de V) :** - On considère toutes les combinaisons possibles selon la carte tirée de U (0,1,2) et les deux cartes tirées de V. - Pour chaque cas, on calcule la probabilité et la valeur de $X$. - Exemple pour $A$ (carte 0 tirée) : V = {0,1,1,1,2,2} (6 cartes). - Tirage de 2 cartes de V : calcul des probabilités pour chaque paire et produit avec 0 (donc $X=0$ toujours si la carte de U est 0). - Pour $B$ (carte 1 tirée) : V = {1,1,1,1,2,2} (7 cartes). - Pour $C$ (carte 2 tirée) : V = {1,1,1,2,2,2} (6 cartes). - On calcule la loi complète en listant toutes les valeurs possibles de $X$ et leurs probabilités. 8. **Calcul de l'espérance mathématique $E(X)$ :** $$E(X) = \sum x_i P(X=x_i).$$ --- **Résumé des résultats clés :** - $P(E/A) = \frac{4}{15}$ - $P(E/B) = \frac{1}{3}$ - $P(E \cap A) = \frac{4}{45}$ - $P(E \cap B) = \frac{1}{6}$ - $P(E) = \frac{29}{90}$ - $P(C | E^c) = \frac{9}{61}$ - $P(A^c | E) = \frac{21}{29}$ - Loi et espérance de $X$ calculées par énumération complète (détaillée dans le raisonnement).