1. Le problème est de développer l'expression de la variance d'une variable aléatoire $X$, qui est définie par $\mathrm{Var}(X) = E\big((X - E(X))^2\big)$. 2. La formule de la variance est : $$\mathrm{Var}(X) = E\big((X - E(X))^2\big)$$ Cela signifie que la variance est l'espérance du carré de la différence entre $X$ et son espérance $E(X)$. 3. Pour développer cette expression, on utilise l'identité remarquable : $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ Ici, $a = X$ et $b = E(X)$. 4. En appliquant cette identité, on obtient : $$\mathrm{Var}(X) = E\big(X^2 - 2X E(X) + (E(X))^2\big)$$ 5. En utilisant la linéarité de l'espérance, on peut écrire : $$\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - 2 E(X E(X)) + E\big((E(X))^2\big)$$ 6. Comme $E(X)$ est une constante, on a : $$E(X E(X)) = E(X) E(X) = (E(X))^2$$ $$E\big((E(X))^2\big) = (E(X))^2$$ 7. Donc, la variance devient : $$\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - 2 (E(X))^2 + (E(X))^2 = E(X^2) - (E(X))^2$$ 8. Conclusion : La variance de $X$ est égale à l'espérance du carré de $X$ moins le carré de l'espérance de $X$. $$\boxed{\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2}$$