1. **Nêu bài toán:** Cho 100 số nguyên dương $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ thỏa mãn $$\frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + \cdots + \frac{1}{a_{100}^2} \geq \frac{10}{3}.$$ Chứng minh rằng trong 100 số đó có ít nhất ba số bằng nhau. 2. **Ý tưởng giải:** Giả sử ngược lại là không có ba số nào bằng nhau, tức là mỗi số xuất hiện tối đa 2 lần. 3. **Phân tích:** Nếu không có số nào xuất hiện 3 lần trở lên, thì 100 số được chia thành các nhóm mỗi nhóm có 1 hoặc 2 số giống nhau. 4. **Tối đa số nhóm:** Vì mỗi nhóm có tối đa 2 số giống nhau, số nhóm ít nhất là $$\lceil \frac{100}{2} \rceil = 50.$$ 5. **Giả sử các số trong các nhóm là $b_1, b_2, \ldots, b_{50}$, mỗi số xuất hiện 2 lần (để tổng lớn nhất): $$\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{a_i^2} = 2 \sum_{j=1}^{50} \frac{1}{b_j^2}.$$ 6. **Tối đa hóa tổng:** Để tổng lớn nhất, các $b_j$ phải là các số nguyên dương nhỏ nhất khác nhau, tức là $1, 2, 3, \ldots, 50$. 7. **Tính tổng:** $$2 \sum_{j=1}^{50} \frac{1}{j^2}.$$ Ta biết: $$\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449,$$ vậy $$\sum_{j=1}^{50} \frac{1}{j^2} < 1.6449.$$ 8. **Ước lượng:** $$2 \sum_{j=1}^{50} \frac{1}{j^2} < 2 \times 1.6449 = 3.2898.$$ 9. **So sánh với điều kiện bài toán:** Điều kiện bài toán yêu cầu tổng phải lớn hơn hoặc bằng $\frac{10}{3} \approx 3.3333$, nhưng ta thấy tổng lớn nhất khi không có ba số bằng nhau chỉ là khoảng 3.2898, nhỏ hơn 3.3333. 10. **Kết luận:** Do đó, giả sử không có ba số bằng nhau dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện bài toán. Vậy trong 100 số đã cho phải có ít nhất ba số bằng nhau. **Đáp số:** Có ít nhất ba số bằng nhau trong 100 số đã cho.