1. Bài toán yêu cầu chứng minh biểu thức $$a = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{100}$$ chia hết cho 6. 2. Ta nhận thấy đây là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu $$a_1 = 2^1 = 2$$ và công bội $$q = 2$$, số số hạng $$n = 100$$. 3. Công thức tổng của cấp số nhân là: $$S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$$ Áp dụng vào bài toán: $$a = 2 \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 2(2^{100} - 1)$$ 4. Ta cần chứng minh $$a = 2(2^{100} - 1)$$ chia hết cho 6, tức là $$a \equiv 0 \pmod{6}$$. 5. Vì 6 = 2 × 3, ta chứng minh $$a$$ chia hết cho 2 và 3. 6. Chia hết cho 2: $$a = 2(2^{100} - 1)$$ rõ ràng có thừa số 2 nên $$a$$ chia hết cho 2. 7. Chia hết cho 3: Ta xét $$a \pmod{3}$$: $$a \equiv 2(2^{100} - 1) \pmod{3}$$ 8. Ta tính $$2^{100} \pmod{3}$$: Lưu ý rằng $$2^1 \equiv 2 \pmod{3}$$, $$2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$$. Chu kỳ lặp lại của $$2^n \pmod{3}$$ là 2. 9. Vì $$100$$ là số chẵn, nên: $$2^{100} \equiv (2^2)^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1 \pmod{3}$$ 10. Thay vào: $$a \equiv 2(1 - 1) \equiv 2 \times 0 \equiv 0 \pmod{3}$$ 11. Vậy $$a$$ chia hết cho 3. 12. Kết luận: $$a$$ chia hết cho 2 và 3 nên $$a$$ chia hết cho 6. **Đáp số:** $$a$$ chia hết cho 6.