1. Bài toán yêu cầu tìm số tự nhiên nhỏ nhất $x$ sao cho khi chia cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28. 2. Ta có hệ đồng dư: $$\begin{cases} x \equiv 5 \pmod{29} \\ x \equiv 28 \pmod{31} \end{cases}$$ 3. Áp dụng định lý đồng dư Trung Quốc (CRT), vì 29 và 31 là số nguyên tố cùng nhau, tồn tại nghiệm duy nhất modulo $29 \times 31 = 899$. 4. Gọi $x = 5 + 29k$ với $k$ là số nguyên. 5. Thay vào đồng dư thứ hai: $$5 + 29k \equiv 28 \pmod{31}$$ $$29k \equiv 23 \pmod{31}$$ 6. Vì $29 \equiv -2 \pmod{31}$, ta có: $$-2k \equiv 23 \pmod{31}$$ $$2k \equiv -23 \equiv 8 \pmod{31}$$ 7. Tìm nghịch đảo của 2 modulo 31: $$2 \times 16 = 32 \equiv 1 \pmod{31}$$ Vậy nghịch đảo của 2 là 16. 8. Nhân hai vế với 16: $$k \equiv 8 \times 16 = 128 \equiv 4 \pmod{31}$$ 9. Lấy $k=4$, ta có: $$x = 5 + 29 \times 4 = 5 + 116 = 121$$ 10. Kiểm tra: $$121 \div 29 = 4 \text{ dư } 5$$ $$121 \div 31 = 3 \text{ dư } 28$$ Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn là $\boxed{121}$.