1. Problem 8a: Ziehen ohne Zurücklegen 3-mal aus der Urne mit 1 blauen, 4 roten und 5 grünen Kugeln. Gegeben: Gesamtzahl Kugeln $N = 1 + 4 + 5 = 10$. A: Wahrscheinlichkeit, genau 2 rote Kugeln zu ziehen. Formel für hypergeometrische Verteilung: $$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$ Hier: $K=4$ rote Kugeln, $n=3$ Ziehungen, $k=2$ rote Kugeln. Berechnung: $$P(A) = \frac{\binom{4}{2} \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} = 0.3$$ B: Wahrscheinlichkeit, eine blaue, eine rote und eine grüne Kugel zu ziehen (in beliebiger Reihenfolge). Anzahl günstiger Kombinationen: $$\binom{1}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{5}{1} = 1 \times 4 \times 5 = 20$$ Gesamtanzahl möglicher 3-Kugel-Ziehungen: $$\binom{10}{3} = 120$$ Also: $$P(B) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$ C: Wahrscheinlichkeit, 3-mal dieselbe Farbe zu ziehen. Mögliche Farben mit mindestens 3 Kugeln: rot (4), grün (5). Blau hat nur 1 Kugel, also ausgeschlossen. Anzahl günstiger Kombinationen: $$\binom{4}{3} + \binom{5}{3} = 4 + 10 = 14$$ Gesamtanzahl: $$\binom{10}{3} = 120$$ Also: $$P(C) = \frac{14}{120} = \frac{7}{60} \approx 0.1167$$ 2. Problem 8b: 8-mal ohne Zurücklegen gezogen, Ergebnis: 1 blaue, 3 rote, 4 grüne Kugeln. Gesamtanzahl Kugeln: 10, Ziehungen: 8. Term für Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zugfolge mit 1 blau, 3 rot, 4 grün: Multinomialkoeffizient: $$\binom{8}{1,3,4} = \frac{8!}{1!3!4!} = \frac{40320}{1 \times 6 \times 24} = 280$$ Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge: $$\frac{1}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$$ Vereinfachung: $$= \frac{1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}$$ Zähler: $1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 2880$ Nenner: $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 3628800$ Also: $$= \frac{2880}{3628800} = \frac{1}{1260}$$ Gesamtwahrscheinlichkeit: $$P(D) = 280 \times \frac{1}{1260} = \frac{280}{1260} = \frac{2}{9} \approx 0.2222$$ 3. Problem 9a: Würfel mit manipuliertem $p=\frac{1}{4}$ für Augenzahl 6, andere 5 Zahlen gleichverteilt. Wahrscheinlichkeit für andere Zahlen: $$q = \frac{1 - p}{5} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{5} = \frac{\frac{3}{4}}{5} = \frac{3}{20}$$ A: Wahrscheinlichkeit Augensumme 12 bei 2 Würfen. Nur möglich mit (6,6): $$P = p \times p = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} = 0.0625$$ B: Wahrscheinlichkeit Augensumme 2 bei 2 Würfen. Nur möglich mit (1,1): $$P = q \times q = \left(\frac{3}{20}\right)^2 = \frac{9}{400} = 0.0225$$ C: Wahrscheinlichkeit mindestens Augensumme 10. Mögliche Paare mit Summe $\geq 10$: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Wahrscheinlichkeiten: - $P(4) = q$, $P(5) = q$, $P(6) = p$ Berechnung: $$P = P(4,6) + P(5,5) + P(5,6) + P(6,4) + P(6,5) + P(6,6)$$ $$= q \times p + q \times q + q \times p + p \times q + p \times q + p \times p$$ $$= 2qp + q^2 + 3pq + p^2 = q^2 + 5pq + p^2$$ 4. Problem 9b: Dreimal würfeln, Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 = 0.936. Formel: $$P(\text{mindestens eine 6}) = 1 - P(\text{keine 6}) = 0.936$$ Also: $$P(\text{keine 6}) = 1 - 0.936 = 0.064$$ Wahrscheinlichkeit keine 6 bei einem Wurf = $1 - p$. Für 3 Würfe: $$ (1 - p)^3 = 0.064$$ Löse nach $p$: $$1 - p = \sqrt[3]{0.064} = 0.4$$ $$p = 1 - 0.4 = 0.6$$ \textbf{Endergebnisse:} - 8a) $P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.1667$, $P(C) = 0.1167$ - 8b) $P(D) = \frac{2}{9} \approx 0.2222$ - 9a) $P(A) = 0.0625$, $P(B) = 0.0225$, $P(C) = q^2 + 5pq + p^2$ mit $p=\frac{1}{4}$, $q=\frac{3}{20}$ - 9b) $p = 0.6$