1. Problem 8a: Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 1 blauer, 4 roten und 5 grünen Kugeln. Gegeben: Gesamtzahl Kugeln $= 1 + 4 + 5 = 10$. A: Wahrscheinlichkeit, genau 2 rote Kugeln in 3 Zügen zu ziehen. Formel für hypergeometrische Verteilung: $$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$ Hier: $N=10$, $K=4$ (rote Kugeln), $n=3$, $k=2$. Berechnung: $$P = \frac{\binom{4}{2} \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = 0.3$$ B: Wahrscheinlichkeit, eine blaue, eine rote und eine grüne Kugel in 3 Zügen zu ziehen. Anzahl günstiger Reihenfolgen: $3! = 6$ (Permutationen der 3 Farben). Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge (z.B. blau, rot, grün): $$\frac{1}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{20}{720} = \frac{1}{36}$$ Gesamtwahrscheinlichkeit: $$6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$ C: Wahrscheinlichkeit, 3-mal dieselbe Farbe zu ziehen. Mögliche Farben mit mindestens 3 Kugeln: rot (4), grün (5). Blau hat nur 1 Kugel. Für rot: $$\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}$$ Für grün: $$\frac{5}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{60}{720} = \frac{1}{12}$$ Gesamtwahrscheinlichkeit: $$\frac{1}{30} + \frac{1}{12} = \frac{2}{60} + \frac{5}{60} = \frac{7}{60} \approx 0.1167$$ 2. Problem 8b: 8-mal ohne Zurücklegen gezogen, Ergebnis: 1 blaue, 3 rote, 4 grüne Kugeln. Gesamtzahl Kugeln: 10. Term für Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zugfolge mit 1 blau, 3 rot, 4 grün: $$p = \frac{\binom{1}{1} \binom{4}{3} \binom{5}{4}}{\binom{10}{8}}$$ Berechnung: $$p = \frac{1 \times 4 \times 5}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9} \approx 0.4444$$ 3. Problem 9a: Würfel mit $p=\frac{1}{4}$ für 6, andere Zahlen gleich wahrscheinlich. Wahrscheinlichkeit für andere Zahlen: $$q = \frac{1 - p}{5} = \frac{3/4}{5} = \frac{3}{20}$$ A: Wahrscheinlichkeit Augensumme 12 bei 2 Würfen. Nur möglich mit (6,6): $$P = p \times p = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} = 0.0625$$ B: Wahrscheinlichkeit Augensumme 2 bei 2 Würfen. Nur möglich mit (1,1): $$P = q \times q = \left(\frac{3}{20}\right)^2 = \frac{9}{400} = 0.0225$$ C: Wahrscheinlichkeit mindestens Augensumme 10. Mögliche Paare mit Summe $\geq 10$: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Wahrscheinlichkeiten: - $P(4) = q$, $P(5) = q$, $P(6) = p$ Berechnung: $$P = P(4,6) + P(5,5) + P(5,6) + P(6,4) + P(6,5) + P(6,6)$$ $$= q \times p + q \times q + q \times p + p \times q + p \times q + p \times p$$ $$= 2qp + q^2 + 3pq + p^2 = q^2 + 5pq + p^2$$ 4. Problem 9b: Dreimal würfeln, Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 = 0.936. Wahrscheinlichkeit keine 6 in einem Wurf = $1 - p$. Wahrscheinlichkeit keine 6 in 3 Würfen: $$(1-p)^3 = 1 - 0.936 = 0.064$$ Löse: $$(1-p)^3 = 0.064$$ $$1-p = \sqrt[3]{0.064} = 0.4$$ $$p = 1 - 0.4 = 0.6$$ --- "slug": "urn-dice-probs", "subject": "stochastics", "desmos": {"latex": "", "features": {"intercepts": false, "extrema": false}}, "q_count": 2