1. **Problem statement:** Aus einer Urne mit 5 weißen, 3 schwarzen und 2 roten Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen entnommen. 2. **Formel und Regeln:** Da mit Zurücklegen gezogen wird, bleibt die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe bei jedem Zug gleich. Die Gesamtzahl der Kugeln ist $5 + 3 + 2 = 10$. Die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel einer bestimmten Farbe zu ziehen, ist $\frac{\text{Anzahl der Kugeln dieser Farbe}}{10}$. 3. **a) Wahrscheinlichkeitsverteilung:** Die möglichen Ergebnisse sind Paare von Farben: WW, WS, WR, SW, SS, SR, RW, RS, RR. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten, z.B. $P(WW) = \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{25}{100} = 0.25$. Berechnung aller Wahrscheinlichkeiten: $$ \begin{aligned} P(WW) &= \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{25}{100} = 0.25 \\ P(WS) &= \frac{5}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{100} = 0.15 \\ P(WR) &= \frac{5}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{10}{100} = 0.10 \\ P(SW) &= \frac{3}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{15}{100} = 0.15 \\ P(SS) &= \frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0.09 \\ P(SR) &= \frac{3}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{6}{100} = 0.06 \\ P(RW) &= \frac{2}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{10}{100} = 0.10 \\ P(RS) &= \frac{2}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{6}{100} = 0.06 \\ P(RR) &= \frac{2}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{4}{100} = 0.04 \end{aligned} $$ 4. **b) Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugeln:** Das sind die Ereignisse WW, SS und RR. $$ P(\text{gleichfarbig}) = P(WW) + P(SS) + P(RR) = 0.25 + 0.09 + 0.04 = 0.38 $$ 5. **c) Wahrscheinlichkeit für Ereignis A: 1. Zug weiße Kugel, 2. Zug rote Kugel:** $$ P(A) = P(\text{weiß im 1. Zug}) \times P(\text{rot im 2. Zug}) = \frac{5}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{10}{100} = 0.10 $$ 6. **d) Ohne Zurücklegen:** Jetzt ändert sich die Gesamtzahl der Kugeln nach dem ersten Zug von 10 auf 9. - Wahrscheinlichkeitsverteilung: $$ \begin{aligned} P(WW) &= \frac{5}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9} \approx 0.222 \\ P(WS) &= \frac{5}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \\ P(WR) &= \frac{5}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9} \approx 0.111 \\ P(SW) &= \frac{3}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \\ P(SS) &= \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \approx 0.067 \\ P(SR) &= \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \approx 0.067 \\ P(RW) &= \frac{2}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9} \approx 0.111 \\ P(RS) &= \frac{2}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \approx 0.067 \\ P(RR) &= \frac{2}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45} \approx 0.022 \end{aligned} $$ - Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugeln: $$ P(\text{gleichfarbig}) = P(WW) + P(SS) + P(RR) = \frac{2}{9} + \frac{1}{15} + \frac{1}{45} = \frac{10}{45} + \frac{3}{45} + \frac{1}{45} = \frac{14}{45} \approx 0.311 $$ - Wahrscheinlichkeit für Ereignis A (1. Zug weiß, 2. Zug rot): $$ P(A) = \frac{5}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9} \approx 0.111 $$