1. **Problemstellung:** Gegeben ist eine Gruppe von 300 Personen, davon sind 200 geimpft (Ereignis A) und 100 nicht geimpft (Ereignis \(\bar{A}\)). Es wird untersucht, wie viele Personen an Grippe erkrankt sind (Ereignis B) bzw. nicht erkrankt (Ereignis \(\bar{B}\)). Die Vierfeldertafel zeigt: \[ \begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Summe} \\ \hline A & 20 & 180 & 200 \\ \bar{A} & 40 & 60 & 100 \\ \hline \text{Summe} & 60 & 240 & 300 \end{array} \] Gesucht sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_A(B) = P(B|A)\) und \(P_B(A) = P(A|B)\). 2. **Formeln:** - Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) - Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) 3. **Berechnung von \(P(A)\) und \(P(B)\):** \[ P(A) = \frac{200}{300} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \] \[ P(B) = \frac{60}{300} = \frac{1}{5} = 0{,}20 \] 4. **Berechnung von \(P(A \cap B)\):** \[ P(A \cap B) = \frac{20}{300} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067 \] 5. **Berechnung von \(P(B|A)\):** \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{15} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \] Zwischenschritt mit Kürzung: \[ P(B|A) = \frac{\cancel{1}/15}{\cancel{2}/3} = \frac{1}{15} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \] 6. **Berechnung von \(P(A|B)\):** \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{15} \times 5 = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \] Zwischenschritt mit Kürzung: \[ P(A|B) = \frac{\cancel{1}/15}{\cancel{1}/5} = \frac{1}{15} \times 5 = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] 7. **Interpretation:** - \(P(B|A) = 0{,}1\) bedeutet, dass von den geimpften Personen 10% an Grippe erkrankt sind. - \(P(A|B) = 0{,}33\) bedeutet, dass von den an Grippe erkrankten Personen 33% geimpft sind. Dies zeigt, dass die Impfung die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung reduziert, da nur 10% der Geimpften erkrankt sind, während 40% der Nicht-Geimpften erkrankt sind (40 von 100).