1. **Problemstellung:** Gegeben ist eine Gruppe von 300 Personen, davon sind 200 geimpft (Ereignis A) und 100 nicht geimpft (Ereignis \(\bar{A}\)). Es gibt 60 Erkrankte (Ereignis B) und 240 Nicht-Erkrankte (Ereignis \(\bar{B}\)). Die Vierfeldertafel zeigt die Verteilung: \begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Summe} \\ \hline A & 20 & 180 & 200 \\ \bar{A} & 40 & 60 & 100 \\ \hline \text{Summe} & 60 & 240 & 300 \end{array} Gesucht sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_A(B) = P(B|A)\) und \(P_B(A) = P(A|B)\). 2. **Formeln:** - Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) - Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) 3. **Berechnung von \(P_A(B) = P(B|A)\):** - \(P(A) = \frac{200}{300} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67\) - \(P(A \cap B) = \frac{20}{300} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067\) \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{20}{300}}{\frac{200}{300}} = \frac{20}{300} \times \frac{300}{200} = \frac{20}{200} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \] Zwischenschritt mit Kürzung: \[ P(B|A) = \frac{\cancel{20}}{\cancel{200}} = \frac{1}{10} \] 4. **Berechnung von \(P_B(A) = P(A|B)\):** - \(P(B) = \frac{60}{300} = \frac{1}{5} = 0{,}2\) - \(P(A \cap B) = \frac{20}{300} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067\) \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{20}{300}}{\frac{60}{300}} = \frac{20}{300} \times \frac{300}{60} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \] Zwischenschritt mit Kürzung: \[ P(A|B) = \frac{\cancel{20}}{\cancel{60}} = \frac{1}{3} \] 5. **Interpretation:** - \(P(B|A) = 0{,}1\) bedeutet, dass von den geimpften Personen 10% an Grippe erkrankten. - \(P(A|B) = 0{,}33\) bedeutet, dass von den Erkrankten 33% geimpft waren. Diese Wahrscheinlichkeiten zeigen, dass die Impfung die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung reduziert, da nur 10% der Geimpften erkrankten, während insgesamt 20% der Gruppe erkrankten.