1. **Problemstellung:** Wir betrachten eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit Parametern $n=8$ (Anzahl der Versuche) und $p=0{,}25$ (Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch). Wir wollen verstehen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet und wie man das mit dem TI-Nspire CAS Taschenrechner löst. 2. **Formel der Binomialverteilung:** $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Hierbei ist $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten zählt, $k$ Erfolge in $n$ Versuchen anzuordnen. 3. **Wichtige Regeln:** - $k$ ist die Anzahl der Erfolge, $k=0,1,2,...,n$. - Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten $\sum_{k=0}^n P(X=k) = 1$. 4. **Berechnung von $P(0 \leq X \leq 1)$:** Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ entweder 0 oder 1 ist: $$P(0 \leq X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$$ 5. **Berechnung von $P(X=0)$:** $$P(X=0) = \binom{8}{0} (0{,}25)^0 (0{,}75)^8 = 1 \times 1 \times 0{,}75^8 = 0{,}1001$$ 6. **Berechnung von $P(X=1)$:** $$P(X=1) = \binom{8}{1} (0{,}25)^1 (0{,}75)^7 = 8 \times 0{,}25 \times 0{,}75^7 = 0{,}2673$$ 7. **Summe:** $$P(0 \leq X \leq 1) = 0{,}1001 + 0{,}2673 = 0{,}3674$$ 8. **Alternative mit TI-Nspire CAS:** - Öffne das Menü für Wahrscheinlichkeitsverteilungen. - Wähle die Binomialverteilung (binomialpdf oder binomialcdf). - Für $P(X=0)$: Eingabe `binomialpdf(8,0.25,0)` - Für $P(X=1)$: Eingabe `binomialpdf(8,0.25,1)` - Für $P(0 \leq X \leq 1)$ kannst du auch `binomialcdf(8,0.25,1)` verwenden, das summiert alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 1. 9. **Zusammenfassung:** - Die Binomialverteilung berechnet Wahrscheinlichkeiten für eine feste Anzahl von Erfolgen. - Man kann einzelne Wahrscheinlichkeiten mit der Formel oder dem Taschenrechner berechnen. - Für kumulative Wahrscheinlichkeiten (z.B. $P(X \leq k)$) ist `binomialcdf` sehr praktisch. **Endergebnis:** $$P(0 \leq X \leq 1) = 0{,}3674$$