1. **Problemstellung:** Gegeben sind Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit HIV-Tests bei Männern, die keiner Risikogruppe angehören. 2. **Gegebene Daten:** - Prävalenz (Infektionsrate): $P(H) = 0{,}0001$ (0,01 %) - Sensitivität (Wahrscheinlichkeit, dass Test positiv ist, wenn infiziert): $P(T|H) = 0{,}999$ - Spezifität (Wahrscheinlichkeit, dass Test negativ ist, wenn nicht infiziert): $P(\neg T|\neg H) = 0{,}9999$ 3. **Gesuchte Wahrscheinlichkeit:** Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufällig ausgewählten Mann, der keiner Risikogruppe angehört, ein positives Testergebnis vorliegt, also $P(T)$. 4. **Formel:** Die Gesamtwahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis berechnet sich mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: $$ P(T) = P(T \cap H) + P(T \cap \neg H) = P(T|H) \cdot P(H) + P(T|\neg H) \cdot P(\neg H) $$ 5. **Berechnung von $P(T|\neg H)$:** Da $P(\neg T|\neg H) = 0{,}9999$, gilt: $$ P(T|\neg H) = 1 - P(\neg T|\neg H) = 1 - 0{,}9999 = 0{,}0001 $$ 6. **Berechnung von $P(\neg H)$:** $$ P(\neg H) = 1 - P(H) = 1 - 0{,}0001 = 0{,}9999 $$ 7. **Einsetzen und Berechnen:** $$ P(T) = (0{,}999)(0{,}0001) + (0{,}0001)(0{,}9999) = 0{,}0000999 + 0{,}00009999 = 0{,}00019989 $$ 8. **Interpretation:** Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann, der keiner Risikogruppe angehört, ein positives Testergebnis erhält, beträgt etwa $0{,}00019989$ oder $0{,}019989\%$. **Endergebnis:** $$ P(T) \approx 0{,}0002 $$