1. **Problem statement:** Im Labor eines Forschungsinstitutes sind 3 Weibchen und 1 Männchen in einem Korb. Es werden nacheinander 3 Mäuse ohne Zurücklegen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für: a) kein Männchen, b) genau zwei Weibchen, c) mindestens 2 Weibchen, d) höchstens zwei Weibchen. 2. **Formulas and rules:** Da ohne Zurücklegen gezogen wird, verwenden wir die hypergeometrische Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ Erfolge (Weibchen) in $n$ Ziehungen aus einer Population mit $K$ Erfolgen und $N$ Gesamtpopulation zu ziehen, ist: $$P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$ Hier: $N=4$, $K=3$, $n=3$. 3. **Berechnung a) kein Männchen:** Kein Männchen bedeutet alle 3 sind Weibchen, also $k=3$: $$P(X=3) = \frac{\binom{3}{3} \binom{1}{0}}{\binom{4}{3}} = \frac{1 \cdot 1}{4} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$ 4. **Berechnung b) genau zwei Weibchen:** $$P(X=2) = \frac{\binom{3}{2} \binom{1}{1}}{\binom{4}{3}} = \frac{3 \cdot 1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75$$ 5. **Berechnung c) mindestens 2 Weibchen:** Das bedeutet $X=2$ oder $X=3$: $$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0{,}75 + 0{,}25 = 1$$ 6. **Berechnung d) höchstens zwei Weibchen:** Das bedeutet $X \leq 2$, also $X=0,1,2$. Da $X$ kann nur 0,1,2 oder 3 sein und $P(X=3)=0{,}25$, dann: $$P(X \leq 2) = 1 - P(X=3) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$$ --- 7. **Problem statement:** In einer Gruppe von 6 Personen sind 4 Schmuggler. Ein Zöllner wählt zufällig nacheinander 3 Personen aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er: a) drei Schmuggler auswählt, b) zwei Schmuggler auswählt, c) einen Schmuggler auswählt. 8. **Formulas and rules:** Hier verwenden wir ebenfalls die hypergeometrische Verteilung mit $N=6$, $K=4$, $n=3$. 9. **Berechnung a) drei Schmuggler:** $$P(X=3) = \frac{\binom{4}{3} \binom{2}{0}}{\binom{6}{3}} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = 0{,}2$$ 10. **Berechnung b) zwei Schmuggler:** $$P(X=2) = \frac{\binom{4}{2} \binom{2}{1}}{\binom{6}{3}} = \frac{6 \cdot 2}{20} = \frac{12}{20} = 0{,}6$$ 11. **Berechnung c) ein Schmuggler:** $$P(X=1) = \frac{\binom{4}{1} \binom{2}{2}}{\binom{6}{3}} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = 0{,}2$$