1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$F(x) = \int_{-\infty}^{x} c \exp(-\pi c^2 t^2) \, dt$$ mit $c \in \mathbb{R}$ und $\pi \approx 3{,}14159$. Es soll bestimmt werden, für welche Werte von $c$ diese Funktion eine Verteilungsfunktion (CDF) einer stetigen Zufallsvariable $X$ mit Träger $\mathbb{R}$ sein kann. 2. **Definition einer Verteilungsfunktion:** Eine Funktion $F$ ist eine Verteilungsfunktion, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: - $F$ ist monoton wachsend. - $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$. - $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$. - $F$ ist rechtsstetig. 3. **Analyse der Funktion:** Die Funktion $F(x)$ ist definiert als das Integral einer Dichtefunktion $f(t) = c \exp(-\pi c^2 t^2)$ von $-\infty$ bis $x$. Damit $F$ eine Verteilungsfunktion ist, muss $f$ eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) sein, also: $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt = 1$$ und $f(t) \geq 0$ für alle $t$. 4. **Bedingung für $f(t) \geq 0$:** Da $\exp(-\pi c^2 t^2) > 0$ für alle $t$, hängt das Vorzeichen von $f(t)$ nur von $c$ ab. Damit $f(t) \geq 0$ für alle $t$, muss gelten: $$c \geq 0$$ 5. **Normierung der Dichte:** Berechne das Integral: $$\int_{-\infty}^{+\infty} c \exp(-\pi c^2 t^2) \, dt = c \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-\pi c^2 t^2) \, dt$$ Bekannt ist die Gaußsche Integraleigenschaft: $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a t^2} dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad \text{für } a > 0$$ Setze $a = \pi c^2$ ein: $$\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-\pi c^2 t^2) dt = \sqrt{\frac{\pi}{\pi c^2}} = \sqrt{\frac{1}{c^2}} = \frac{1}{|c|}$$ 6. **Gesamtes Integral:** $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = c \cdot \frac{1}{|c|} = \frac{c}{|c|}$$ 7. **Normierungsbedingung:** Damit das Integral 1 ergibt, muss gelten: $$\frac{c}{|c|} = 1 \implies c > 0$$ 8. **Zusammenfassung:** - Für $c > 0$ ist $f(t) = c \exp(-\pi c^2 t^2)$ eine gültige Dichtefunktion, da $f(t) \geq 0$ und das Integral 1 ist. - Für $c \leq 0$ ist $f(t)$ nicht positiv oder das Integral nicht normiert. 9. **Schlussfolgerung:** Die Funktion $F(x)$ ist genau dann eine Verteilungsfunktion, wenn $c > 0$ gilt. **Endergebnis:** $$\boxed{c > 0}$$