1. Énoncé du problème : On considère les ensembles $\mathbb{Q}$ (les rationnels) et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (les irrationnels) munis de la topologie induite par celle de $\mathbb{R}$. (a) Trouver les parties connexes de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. (b) Existe-t-il une fonction continue $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $f(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}$ ? 2. Rappel des notions importantes : - Une partie est connexe si elle ne peut pas être séparée en deux parties ouvertes disjointes non vides. - Dans $\mathbb{R}$ avec la topologie usuelle, les intervalles sont connexes. - $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont denses dans $\mathbb{R}$ mais sont des ensembles totalement discontinus. 3. Analyse de (a) : - $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ mais n'a pas d'intervalles non triviaux entièrement rationnels. - Toute partie connexe de $\mathbb{Q}$ est donc un singleton, car entre deux rationnels il y a un irrationnel, ce qui brise la connexité. - De même, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est totalement discontinu, donc ses parties connexes sont aussi des singletons. 4. Conclusion pour (a) : Les parties connexes de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont exactement les singletons. 5. Analyse de (b) : - Supposons qu'une fonction continue $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ existe telle que $f(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}$. - $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. - Par continuité, l'image de $\mathbb{R}$ est connexe (car $\mathbb{R}$ est connexe). - Or, $f(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}$, un ensemble totalement discontinu. - L'image de $\mathbb{R}$ doit contenir l'adhérence de $f(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})$, donc contenir des irrationnels, contradiction. 6. Conclusion pour (b) : Il n'existe pas de fonction continue $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $f(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}$. Réponse finale : (a) Les parties connexes de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont les singletons. (b) Une telle fonction continue n'existe pas.