1. Énoncé du problème : Montrer que l'ensemble vide $\emptyset$ et l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ sont des fermés. 2. Rappel de la définition : Un ensemble $F \subseteq \mathbb{R}$ est fermé si son complémentaire $\mathbb{R} \setminus F$ est ouvert. 3. Montrons que $\emptyset$ est fermé : - Le complémentaire de $\emptyset$ dans $\mathbb{R}$ est $\mathbb{R}$. - Or, $\mathbb{R}$ est un ouvert (l'ensemble tout entier est ouvert dans la topologie usuelle). - Donc, $\emptyset$ est fermé car son complémentaire est ouvert. 4. Montrons que $\mathbb{R}$ est fermé : - Le complémentaire de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est $\emptyset$. - $\emptyset$ est ouvert (par définition de la topologie usuelle). - Donc, $\mathbb{R}$ est fermé car son complémentaire est ouvert. 5. Conclusion : Les ensembles $\emptyset$ et $\mathbb{R}$ sont fermés car leurs complémentaires respectifs sont ouverts selon la définition de la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$. Réponse finale : $\emptyset$ et $\mathbb{R}$ sont des ensembles fermés.