1. **Énoncé du problème** : Déterminer si l'ensemble $F_1 = [0,1]$ est fermé dans $\mathbb{R}$ en utilisant la notion de complémentarité. 2. **Rappel de la définition** : Un ensemble est fermé dans $\mathbb{R}$ si et seulement si son complémentaire est ouvert. 3. **Complémentaire de $F_1$** : Le complémentaire de $F_1$ dans $\mathbb{R}$ est $$\mathbb{R} \setminus [0,1] = (-\infty,0) \cup (1,+\infty).$$ 4. **Vérification que le complémentaire est ouvert** : - L'intervalle $(-\infty,0)$ est un intervalle ouvert. - L'intervalle $(1,+\infty)$ est aussi un intervalle ouvert. - L'union de deux ensembles ouverts est ouverte. 5. **Conclusion** : Comme le complémentaire de $F_1$ est une union d'intervalles ouverts, il est ouvert. Donc, $F_1 = [0,1]$ est un ensemble fermé dans $\mathbb{R}$. **Réponse finale** : $F_1 = [0,1]$ est fermé dans $\mathbb{R}$ car son complémentaire est ouvert.