1. **Énoncé du problème :** Montrer que les applications suivantes sont des normes sur $\mathbb{R}^n$ : - $\|X\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$ - $\|X\|_2 = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right)^{1/2}$ (norme euclidienne) - $\|X\|_\infty = \sup_{1 \leq i \leq n} |x_i|$ (norme uniforme) 2. **Rappel de la définition d'une norme :** Une application $\|\cdot\| : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est une norme si elle vérifie pour tout $X, Y \in \mathbb{R}^n$ et tout scalaire $\alpha$ : - Positivité : $\|X\| \geq 0$ et $\|X\|=0 \iff X=0$ - Homogénéité : $\|\alpha X\| = |\alpha| \|X\|$ - Inégalité triangulaire : $\|X+Y\| \leq \|X\| + \|Y\|$ 3. **Preuve pour $\|X\|_1$ :** - Positivité : $\sum |x_i| \geq 0$ et $\sum |x_i|=0 \Rightarrow x_i=0$ pour tout $i$. - Homogénéité : $\|\alpha X\|_1 = \sum |\alpha x_i| = |\alpha| \sum |x_i| = |\alpha| \|X\|_1$. - Inégalité triangulaire : $$\|X+Y\|_1 = \sum |x_i + y_i| \leq \sum (|x_i| + |y_i|) = \sum |x_i| + \sum |y_i| = \|X\|_1 + \|Y\|_1$$ 4. **Preuve pour $\|X\|_2$ (norme euclidienne) :** - Positivité : $\left(\sum |x_i|^2\right)^{1/2} \geq 0$ et égal à 0 seulement si tous $x_i=0$. - Homogénéité : $$\|\alpha X\|_2 = \left(\sum |\alpha x_i|^2\right)^{1/2} = \left(|\alpha|^2 \sum |x_i|^2\right)^{1/2} = |\alpha| \|X\|_2$$ - Inégalité triangulaire (indication donnée) : $$\|X+Y\|_2 = \left(\sum (x_i + y_i)^2\right)^{1/2} \leq \left(\sum x_i^2\right)^{1/2} + \left(\sum y_i^2\right)^{1/2} = \|X\|_2 + \|Y\|_2$$ 5. **Preuve pour $\|X\|_\infty$ (norme uniforme) :** - Positivité : $\sup |x_i| \geq 0$ et égal à 0 seulement si tous $x_i=0$. - Homogénéité : $$\|\alpha X\|_\infty = \sup |\alpha x_i| = |\alpha| \sup |x_i| = |\alpha| \|X\|_\infty$$ - Inégalité triangulaire : $$\|X+Y\|_\infty = \sup |x_i + y_i| \leq \sup (|x_i| + |y_i|) \leq \sup |x_i| + \sup |y_i| = \|X\|_\infty + \|Y\|_\infty$$ **Conclusion :** Les trois applications sont des normes sur $\mathbb{R}^n$. --- **Note sur la représentation graphique pour $n=2$ :** - La boule unité pour $\|\cdot\|_1$ est le losange $|x_1| + |x_2| \leq 1$. - La boule unité pour $\|\cdot\|_2$ est le cercle $\sqrt{x_1^2 + x_2^2} \leq 1$. - La boule unité pour $\|\cdot\|_\infty$ est le carré $\max(|x_1|, |x_2|) \leq 1$. Ces formes sont bien distinctes et illustrent les différentes normes.