1. **Problemstellung:** Wir haben eine Urne mit 1 schwarzen, 3 weißen und 4 grauen Kugeln, insgesamt 8 Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander gezogen, ohne Zurücklegen. 2. **Baumdiagramm beschriften:** - Erste Ziehung: Wahrscheinlichkeiten sind $\frac{1}{8}$ für Schwarz (S), $\frac{3}{8}$ für Weiß (W), $\frac{4}{8}$ für Grau (G). - Zweite Ziehung: Nach dem Ziehen einer Kugel ändert sich die Anzahl und damit die Wahrscheinlichkeiten: Für jeden ersten Zug berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Ziehung: - Nach S (erste Kugel schwarz, 7 Kugeln übrig: 0S, 3W, 4G): - S: $\frac{0}{7}=0$ - W: $\frac{3}{7}$ - G: $\frac{4}{7}$ - Nach W (erste Kugel weiß, 7 Kugeln übrig: 1S, 2W, 4G): - S: $\frac{1}{7}$ - W: $\frac{2}{7}$ - G: $\frac{4}{7}$ - Nach G (erste Kugel grau, 7 Kugeln übrig: 1S, 3W, 3G): - S: $\frac{1}{7}$ - W: $\frac{3}{7}$ - G: $\frac{3}{7}$ 3. **Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander weiß zu ziehen:** $$P(WW) = P(W_1) \times P(W_2|W_1) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$$ 4. **Wahrscheinlichkeit keine schwarze Kugel zu ziehen:** Das bedeutet, beide Kugeln sind entweder weiß oder grau. - Erste Kugel nicht schwarz: $P(\text{nicht S}_1) = \frac{7}{8}$ - Zweite Kugel nicht schwarz, abhängig von erster Ziehung: - Wenn erste weiß: $P(\text{nicht S}_2|W_1) = \frac{6}{7}$ (2W + 4G) - Wenn erste grau: $P(\text{nicht S}_2|G_1) = \frac{6}{7}$ (3W + 3G) Gesamtwahrscheinlichkeit: $$P(\text{keine S}) = P(W_1) \times P(\text{nicht S}_2|W_1) + P(G_1) \times P(\text{nicht S}_2|G_1) = \frac{3}{8} \times \frac{6}{7} + \frac{4}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{3}{8} \times \frac{6}{7} + \frac{4}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{6}{7} \times \frac{7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$ 5. **Wahrscheinlichkeit keine graue Kugel zu ziehen:** Beide Kugeln sind entweder schwarz oder weiß. - Erste Kugel nicht grau: $P(\text{nicht G}_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ - Zweite Kugel nicht grau, abhängig von erster Ziehung: - Wenn erste schwarz: $P(\text{nicht G}_2|S_1) = \frac{4}{7}$ (0G + 1S + 3W) - Wenn erste weiß: $P(\text{nicht G}_2|W_1) = \frac{3}{7}$ (1S + 2W + 0G) Gesamtwahrscheinlichkeit: $$P(\text{keine G}) = P(S_1) \times P(\text{nicht G}_2|S_1) + P(W_1) \times P(\text{nicht G}_2|W_1) = \frac{1}{8} \times \frac{4}{7} + \frac{3}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{4}{56} + \frac{9}{56} = \frac{13}{56}$$ 6. **Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel weiß ist:** Wir betrachten alle Pfade, bei denen die zweite Kugel weiß ist: - Erste schwarz, zweite weiß: $\frac{1}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{3}{56}$ - Erste weiß, zweite weiß: $\frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56}$ - Erste grau, zweite weiß: $\frac{4}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{56}$ Summe: $$P(W_2) = \frac{3}{56} + \frac{6}{56} + \frac{12}{56} = \frac{21}{56} = \frac{3}{8}$$ **Endergebnis:** - Baumdiagramm vollständig beschriftet mit Wahrscheinlichkeiten der zweiten Ziehung. - $P(WW) = \frac{3}{28}$ - $P(\text{keine schwarze Kugel}) = \frac{3}{4}$ - $P(\text{keine graue Kugel}) = \frac{13}{56}$ - $P(\text{zweite Kugel weiß}) = \frac{3}{8}$