1. **Problem:** Gegeben sind zwei Ereignisse A und B mit $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,6$ und $P(A \cap B) = 0,2$. Berechnen Sie: a) $P_A(B)$ (bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A) b) $P_B(A)$ (bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B) c) $P(A \cup B)$ (Vereinigung von A und B) 2. **Formeln und Regeln:** - Bedingte Wahrscheinlichkeit: $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ - Vereinigung zweier Ereignisse: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ 3. **Berechnungen:** a) $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0,2}{0,3} = \frac{\cancel{0,2}}{\cancel{0,3}} = 0,6667$$ b) $$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{\cancel{0,2}}{\cancel{0,6}} = 0,3333$$ c) $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,3 + 0,6 - 0,2 = 0,7$$ --- 4. **Problem:** Baumdiagramm mit Ereignissen k (krank) und k̄ (nicht krank) mit Wahrscheinlichkeiten $P(k) = 0,02$, $P(k̄) = 0,98$ und bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_k(pos) = 0,99$, $P_k̄(pos) = 0,03$. Berechnen Sie die Vierfeldertafel und vervollständigen Sie das Baumdiagramm. 5. **Formeln:** - Gesamtwahrscheinlichkeit für positives Ergebnis: $$P(pos) = P(k) \cdot P_k(pos) + P(k̄) \cdot P_k̄(pos) = 0,02 \cdot 0,99 + 0,98 \cdot 0,03 = 0,0492$$ - Vierfeldertafel-Einträge: - $P(k \cap pos) = 0,02 \cdot 0,99 = 0,0198$ - $P(k \cap \overline{pos}) = 0,02 \cdot 0,01 = 0,0002$ - $P(k̄ \cap pos) = 0,98 \cdot 0,03 = 0,0294$ - $P(k̄ \cap \overline{pos}) = 0,98 \cdot 0,97 = 0,9506$ --- 6. **Problem:** Aus einem Skatspiel (32 Karten, 4 Könige) werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte ein König ist, wenn die erste Karte ein König war. 7. **Formel:** - Bedingte Wahrscheinlichkeit: $$P(\text{2. Karte König} | \text{1. Karte König}) = \frac{\text{Anzahl verbleibender Könige}}{\text{Anzahl verbleibender Karten}} = \frac{3}{31} \approx 0,0968$$ --- 8. **Problem:** Zufällige Zahl von 1 bis 50 wird gewählt. Die Zahl ist durch 3 teilbar. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl auch durch 5 teilbar ist. 9. **Berechnung:** - Anzahl Zahlen von 1 bis 50, die durch 3 teilbar sind: $$\left\lfloor \frac{50}{3} \right\rfloor = 16$$ - Zahlen, die durch 3 und 5 teilbar sind, also durch 15: $$\left\lfloor \frac{50}{15} \right\rfloor = 3$$ - Gesuchte Wahrscheinlichkeit: $$P = \frac{3}{16} = 0,1875$$