1. **Problemstellung:** Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, genau $k=3$ rote Kugeln aus $n=5$ Ziehungen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit $N=20$ Kugeln, davon $K=7$ rot, zu erhalten. 2. **Formel der hypergeometrischen Verteilung:** $$P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$ Diese Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit, indem sie die Anzahl der günstigen Kombinationen (Erfolge und Nicht-Erfolge) durch die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen teilt. 3. **Berechnung der einzelnen Binomialkoeffizienten:** - $\binom{7}{3}$ ist die Anzahl der Möglichkeiten, 3 rote Kugeln aus 7 roten auszuwählen. - $\binom{13}{2}$ ist die Anzahl der Möglichkeiten, 2 nicht-rote Kugeln aus den verbleibenden 13 Kugeln auszuwählen. - $\binom{20}{5}$ ist die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 5 Kugeln aus 20 zu ziehen. 4. **Berechnung von $\binom{7}{3}$:** $$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \times (7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$ 5. **Berechnung von $\binom{13}{2}$:** $$\binom{13}{2} = \frac{13!}{2! \times (13-2)!} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$$ 6. **Berechnung von $\binom{20}{5}$:** $$\binom{20}{5} = \frac{20!}{5! \times (20-5)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15504$$ 7. **Einsetzen in die Formel:** $$P(X=3) = \frac{35 \times 78}{15504}$$ 8. **Multiplikation im Zähler:** $$35 \times 78 = 2730$$ 9. **Bruch vereinfachen:** $$P(X=3) = \frac{2730}{15504}$$ 10. **Bruch kürzen mit $6$ als gemeinsamer Teiler:** $$\frac{2730}{15504} = \frac{\cancel{6} \times 455}{\cancel{6} \times 2584} = \frac{455}{2584}$$ 11. **Dezimaler Wert:** $$P(X=3) \approx 0{,}176$$ **Zusammenfassung:** Die Wahrscheinlichkeit, genau 3 rote Kugeln zu ziehen, beträgt etwa 0,176 oder 17,6%.