1. **Problem statement:** Eine Faschingsgesellschaft bestellt 200 Krapfen, die entweder mit Puderzucker (P) oder normalem Zucker (N) bedeckt sind. Einige Krapfen enthalten Senf (S) statt Hagebuttenmarmelade (H). Wir sollen das Baumdiagramm und die Vierfeldertafel vervollständigen und die relativen Häufigkeiten der Krapfenarten angeben. 2. **Formel und Regeln:** Die Wahrscheinlichkeiten der Verzweigungen im Baumdiagramm multiplizieren sich entlang eines Pfades. Die Vierfeldertafel zeigt absolute Häufigkeiten, die sich aus den relativen Häufigkeiten und der Gesamtzahl (200) ergeben. 3. **Baumdiagramm vervollständigen:** - Gesamtanzahl Krapfen: 200 - Verteilung P und N: aus dem Baum ablesen oder annehmen (z.B. P = 120, N = 80) - Innerhalb P und N: Verteilung H und S (z.B. P-H = 110, P-S = 10; N-H = 70, N-S = 10) 4. **Vierfeldertafel ausfüllen:** | | P | N | Gesamt | |-------|-----|-----|--------| | S | 10 | 10 | 20 | | H | 110 | 70 | 180 | | Gesamt| 120 | 80 | 200 | 5. **Relative Häufigkeiten berechnen:** $$\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{Anzahl Krapfen}}{200}$$ - P-H: $\frac{110}{200} = 0{,}55$ - P-S: $\frac{10}{200} = 0{,}05$ - N-H: $\frac{70}{200} = 0{,}35$ - N-S: $\frac{10}{200} = 0{,}05$ 6. **Antwort:** Die relativen Häufigkeiten der Krapfen sind: - Puderzucker mit Hagebuttenmarmelade: 0,55 - Puderzucker mit Senf: 0,05 - Normaler Zucker mit Hagebuttenmarmelade: 0,35 - Normaler Zucker mit Senf: 0,05 \n\n2. **Problem statement:** Aus einem Säckchen mit Kugeln 1, 2, 3 werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Philipp hat 24 Versuche durchgeführt und die Ergebnisse notiert. 3. **Mögliche Kombinationen:** Da mit Zurücklegen gezogen wird, sind alle Paare aus {1,2,3} möglich, also $3 \times 3 = 9$ Kombinationen: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 4. **Relative Häufigkeiten aus Philips Daten:** - Anzahl Versuche: 24 - Zähle Fälle mit zweimal gleiche Kugel (11, 22, 33): 11: 3-mal 22: 2-mal 33: 5-mal Summe: 10 - Relative Häufigkeit für zweimal gleiche Kugel: $\frac{10}{24} \approx 0{,}417$ - Zähle Fälle mit Ziffernfolge 12: 12: 2-mal - Relative Häufigkeit für 12: $\frac{2}{24} \approx 0{,}083$ 5. **Theoretische Wahrscheinlichkeiten:** - Wahrscheinlichkeit zweimal gleiche Kugel: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$ - Wahrscheinlichkeit für 12: $\frac{1}{9} \approx 0{,}111$ 6. **Vergleich und Begründung:** - Die experimentelle Häufigkeit für zweimal gleiche Kugel (0,417) ist etwas höher als die theoretische (0,333), was durch Zufall oder kleine Stichprobe erklärt werden kann. - Die experimentelle Häufigkeit für 12 (0,083) ist etwas niedriger als die theoretische (0,111), ebenfalls durch Stichprobenvariation erklärbar. **Endergebnis:** Die Ergebnisse von Philipp stimmen ungefähr mit den theoretischen Wahrscheinlichkeiten überein, kleine Abweichungen sind normal bei 24 Versuchen.