1. **Problemstellung:** Wir haben einen 20-seitigen Würfel (bunte Würfel) und wollen wissen, wie viele Würfe man braucht, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 67% (also über $\frac{2}{3}$) mindestens eine 17 oder höher zu würfeln. 2. **Wahrscheinlichkeit für einen Wurf:** Die Zahlen 17, 18, 19 und 20 sind 4 mögliche Ergebnisse von 20, also ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf eine 17 oder höher zu würfeln: $$p = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0{,}2$$ 3. **Wahrscheinlichkeit, keine 17 oder höher zu würfeln:** Die Gegenwahrscheinlichkeit, bei einem Wurf keine 17 oder höher zu würfeln, ist: $$q = 1 - p = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$$ 4. **Wahrscheinlichkeit, nach $n$ Würfen mindestens einmal 17 oder höher zu würfeln:** Das ist das Gegenereignis zu "in allen $n$ Würfen keine 17 oder höher". Also: $$P(\text{mindestens eine 17 oder höher in } n \text{ Würfen}) = 1 - q^n = 1 - 0{,}8^n$$ 5. **Gesuchte Bedingung:** Wir wollen $n$ so bestimmen, dass: $$1 - 0{,}8^n > \frac{2}{3}$$ 6. **Umformen:** $$0{,}8^n < 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ 7. **Logarithmieren:** $$\ln(0{,}8^n) < \ln\left(\frac{1}{3}\right)$$ $$n \ln(0{,}8) < \ln\left(\frac{1}{3}\right)$$ Da $\ln(0{,}8) < 0$, kehrt sich die Ungleichung um: $$n > \frac{\ln\left(\frac{1}{3}\right)}{\ln(0{,}8)}$$ 8. **Werte einsetzen:** $$\ln\left(\frac{1}{3}\right) = \ln(1) - \ln(3) = 0 - 1{,}0986 = -1{,}0986$$ $$\ln(0{,}8) = -0{,}2231$$ Also: $$n > \frac{-1{,}0986}{-0{,}2231} = 4{,}92$$ 9. **Ergebnis:** Da $n$ eine ganze Zahl sein muss, braucht man mindestens 5 Würfe, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 67% mindestens eine 17 oder höher zu würfeln. **Finale Antwort:** Man braucht mindestens **5 Würfe**.